2019_2020学年高中数学第2章推理与证明2.3数学归纳法课时作业20数学归纳法的原理新人教A版

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1、课时作业20　数学归纳法的原理知识点一　　数学归纳法的原理　　　　　　　　　　　　　　1.用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”时，步骤(1)中n0的取值应为(　　)A．1B．2C．3D．4答案　C解析　由凸边形至少有3条边，知n≥3，故n0的取值应为3.2．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则(　　)A．f(n)共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋B．f(n)共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋C．f(n)共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋D．f(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋答案　D

2、解析　结合f(n)中各项的特征可知，分子均为1，分母为n，n＋1，…，n2的连续自然数共有n2－n＋1个，且f(2)＝＋＋.3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1(n∈N*)时，等式左边应在n＝k的基础上加上(　　)A．k2＋1B．(k＋1)2C.D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2答案　D解析　当n＝k时，等式左边＝1＋2＋…＋k2，当n＝k＋1时，等式左边＝1＋2＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2，故选D.4．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋＝2时，

3、若已假设n＝k(k≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证(　　)A．n＝k＋1时等式成立B．n＝k＋2时等式成立C．n＝2k＋2时等式成立D．n＝2(k＋2)时等式成立答案　B解析　因为假设n＝k(k≥2为偶数)，故下一个偶数为k＋2，故选B.知识点二用数学归纳法证明命题5.用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2(其中n∈N*)．证明　(1)当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1×4＋2×7＋3

4、×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2.那么当n＝k＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2，即当n＝k＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N*都成立．6．用数学归纳法证明：1＋4＋7＋…＋(3n－2)＝n(3n－1)(n∈N*)．证明　(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，左边＝右边，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋4

5、＋7＋…＋(3k－2)＝k(3k－1)．那么当n＝k＋1时，1＋4＋7＋…＋(3k－2)＋[3(k＋1)－2]＝k(3k－1)＋(3k＋1)＝(3k2＋5k＋2)＝(k＋1)(3k＋2)＝(k＋1)[3(k＋1)－1]，即当n＝k＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N*都成立．一、选择题1．证明“＜1＋＋＋＋…＋＜n＋1(n＞1)”，当n＝2时，中间的式子为(　　)A．1B．1＋C．1＋＋D．1＋＋＋答案　D解析　当n＝2时，中间的式子为1＋＋＋＝1＋＋＋.故选D.2．我们运用数学归纳法证明某一个关于

6、自然数n的命题时，在由“n＝k时论断成立⇒n＝k＋1时论断也成立”的过程中(　　)A．必须运用假设B．n可以部分地运用假设C．可不用假设D．应视情况灵活处理，A、B、C均可答案　A解析　由“n＝k时论断成立⇒n＝k＋1时论断也成立”的过程中必须运用假设．3．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是(　　)A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立B．若f(5)≥25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k

7、2成立C．若f(7)＜49成立，则当k≥8时，均有f(k)＜k2成立D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均为f(k)≥k2成立答案　D解析　对于A，若f(3)≥9成立，由题意只可得出当k≥3时，均有f(k)≥k2成立，故错误；对于B，若f(5)≥25成立，则当k≥5时均有f(k)≥k2成立，故错误；对于C，应改为“若f(7)≥49成立，则当k≥7时，均有f(k)≥k2成立”．4．已知命题1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1及其证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，所以等式成立．(2)假设n＝k(k≥1

8、，k∈N*)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1成立，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1，所以n＝k＋1时等式也成立．由(1)(2)知，对任意的正整数n等式都成立．判断以上评述(　　)A．命题、推理都正确B．命题正确、推理不正确C．命题不正确、推理正确D．命题、推理都不正