高等数学与初等数学

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1、近些年来,高师院校数学系的不少大学生对学习高等数学存在不少看法。如“现在学的高等数学好象与初等数学没有多大联系”，“学习高等数学对今后当中学数学教师作用不大”。有的甚至提出“高等数学在中学教学里根本用不上”等等。这些看法正如著名数学家克莱因早已指出的那样“新的大学生一入学新发现,他们面对的问题好象同中学里学过的东一点也没有联系似的,当然他很快就完全忘了中学学的东西,但是毕业以后当了教师,他们突然发现,要他们按老师的教法来教传统的初等数学,由于缺乏指导,他们很难辨明当前数学内容和所受大学数学训练之间的联系,于是很快坠入相沿成习的教学方法,而他们所受的大学训练至

2、多成为一种愉快的回忆，对他们的教学毫无影响。初等数学即常量数学，中学里教授的数学、研究的问题比较直观、单纯，但它形成的概念和积累的技巧，对于高等数学往往影响深远。高等数学虽抽象复杂，但它的内容和方法往往能在初等数学中找到其根源。他们之间l联系很紧密。本文略谈一下初等数学与高等数学在解题方面的联系。一在函数求极值方面的应用初等数学中，经常用不等式、配方等方法求极值。这些方法的特点是学生熟悉，易于掌握。但这些方法往往有俩个缺点：一是技巧要求较高，特别是对复杂的问题；二是适用的面较窄，只能解一些特殊的问题。我们可以按一下方法群殴函数的极大值和极小值：首先写出函数解

3、析式，然后求使此导数为零的点；其次研究这些值中哪些是极大值点哪些是极小值点;最后可以用二阶导数进行判断,二阶导数的正负指示图像的凹凸形状,二阶导数为零的点通常指拐点,在拐点处不出现极值,以上方法指明了取极值的x值；为了获得y=f(x)自身相应的值，只需要将求的的x值带入即可。用微积分方法求极值，有固定程序可循，技巧性要求低一些，适用面也广一些。例1解：fc(x)=6x-18x+12,fd(x)=12x-18,令fc(x)=0解得x1=1,x2=2;又有fd(x1)=-6<0,fd(x2)=6>0,因此,f(x)具有极大值f(x1)=6,极小值f(x2)=5。

4、此题若用初等数学解题则较为困难。二拉格朗日中值定理在解题中的应用（2003年第二期5月合肥学院学报63页）利用拉格朗日中值定理解题的关键是根据题意选取适当的函数f(x)和闭区间，使它们满足拉格朗日中值定理的条件，然后运用定理结论或推论，经过适当的变形或运算的出所需要的结论。一般来说可以有以下几种题型。（1）证明根的存在性在拉格朗日中值定理的条件下若加上条件f(a)=f(b)，则可知在开区间（a,b）内至少有一点，使得在这点的导数等于零。这就是拉格朗日中值定理的特殊情形，称为罗尔中值定理，可用来证明跟的存在性。所给根的范围就是区间[a,b],把所给方程设为函数

5、f(x),就可用拉格朗日中值定理证明方程根的存在性,一般用反证法.例1设f(x)在[0,1]可导,且00,得到g(0)·g(1)<0.所以,函数g(x)在(0,1)内至少有一个实根.再证唯一性假设方程f(x)+x-1=0在(0,1)内有两个实根α,β,

6、不妨设为0<α<β<1,则有f(α)=1-α,f(β)=1-β,对函数f(x)在[α,β]上运用拉格朗日中值定理有f(β)-f(α)=f′(λ)(β-α).因此f′(λ)=f(β)-f(α)β-α=(1-β)-(1-α)β-α=-1,这和已知条件f′(x)≠-1矛盾.所以方程f(x)+x-1=0在(0,1)内有唯一的实根.（1）拉格朗日中值定理的形式结合切割线的定义由拉格朗日中值定理得：f(b)-f(a)/b-a=f(),从中可以看出，式子的左边是曲线上两点（a,f(a)）,(b,f(b))的割线斜率，而右边是切线的斜率。所以在求切割线斜率的时候，可以转化为

7、曲线上切线的斜率。即连续函数上任意两点的连线总是与某条切线平行。例（2）函数时，曲线的切线斜率范围记为集合A，曲线上不同两点，连线斜率取值范围记为集合B，你认为集合A,B之间有怎样的关系，并证明你的结论。解析：有故设PQ的斜率为k，则故若，若，得，得，即k>1（1）利用拉格朗日中值定理证明不等式（数学教学通讯2008年8月上半月40）若函数f(x)是在闭区间上连续不断的函数，且至少存在一点，使。我们解决问题是通过构造函数，利用导数的单调性，从而求证不等式。例（3）已知函数如果是增函数，且存在零点（为的导函数）。（1）求a的值（2）设是函数y=g(x)的图像上

8、两点，的导数，证明：解析：（1）a=e(2)(1)得