2017_18学年高中数学第二章章末小结知识整合与阶段检测学案

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1、第二章柯西不等式与排序不等式及其应用知识整合与阶段检测[对应学生用书P36][对应学生用书P36]利用柯西不等式证明不等式(1)柯西不等式取等号的条件实质上是：＝＝…＝.这里某一个bi为零时，规定相应的ai为零．(2)利用柯西不等式证明的关键是构造两个适当的数组．(3)可以利用向量中的

2、α

3、

4、β

5、≥

6、α·β

7、的几何意义来帮助理解柯西不等式的几何意义．[例1]　若n是不小于2的正整数，求证：＜1－＋－＋…＋－＜.[证明]　1－＋－＋…＋－＝－215＝＋＋…＋，所以求证式等价于＜＋＋…＋＜.由柯西不等式，有[(n＋1)＋(n＋2)＋…＋2n]≥n2，于是＋＋…＋≥＝＝≥＝，又由柯

8、西不等式，有＋＋…＋＜＜＝.[例2]　设a，b，c∈R＋，且满足abc＝1，试证明：＋＋≥.[证明]　∵abc＝1，则所求证的不等式变为＋＋≥.又(ab＋bc＋ca)2＝2≤[(ac＋bc)＋(ab＋ac)＋(ba＋bc)]，∴＋＋≥(ac＋bc＋ab)≥·3＝，当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立．原不等式得证.利用柯西不等式求最值15利用不等式解决最值，尤其是含多个变量的问题，是一种常用方法．特别是条件最值问题，通常运用平均值不等式、柯西不等式、排序不等式及幂平均不等式等，但要注意取等号的条件能否满足．[例3]　若5x1＋6x2－7x3＋4x4＝1，则3x＋2x＋5x＋x的最

9、小值是(　　)A．　　　　　　　　　B．C．3D．[解析]　∵(3x＋2x＋5x＋x)≥2＝(5x1＋6x2－7x3＋4x4)2＝1，∴3x＋2x＋5x＋x≥.[答案]　B[例4]　等腰直角三角形AOB的直角边长为1.如图，在此三角形中任取点P，过P分别引三边的平行线，与各边围成以P为顶点的三个三角形(图中阴影部分)，求这三个三角形的面积和的最小值，以及达到最小值时P的位置．[解]　分别取OA，OB所在的直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系．则AB的方程为x＋y＝1，记P点坐标为P(xP，yP)，则以P为公共顶点的三个三角形的面积和S为S＝x＋y＋(1－xP－yP)2，

10、2S＝x＋y＋(1－xP－yP)2.由柯西不等式，得[x＋y＋(1－xP－yP)2](12＋12＋12)15≥[xP＋yP＋(1－xP－yP)]2，即2S×3＝6S≥1，所以S≥.当且仅当＝＝时，等号成立，即xP＝yP＝时，面积和S最小，且最小值为.从而P点坐标为时，这三个三角形的面积和取最小值.[例5]　已知实数x、y、z满足x2＋4y2＋9z2＝a(a>0)，且x＋y＋z的最大值是7，求a的值．[解]　由柯西不等式：[x2＋(2y)2＋(3z)2]≥2.因为x2＋4y2＋9z2＝a(a>0)，所以a≥(x＋y＋z)2，即－≤x＋y＋z≤.因为x＋y＋z的最大值是7，所以＝

11、7，得a＝36，当x＝，y＝，z＝时，x＋y＋z取最大值，所以a＝36.排序不等式的应用(1)用排序不等式证明不等式的关键是根据问题的条件和结论构造恰当的序列，如何排好这个序列是难点所在．(2)注意等号成立的条件．[例6]　在△ABC中，试证：≤＜.[证明]　不妨设a≤b≤c，于是A≤B≤C.由排序不等式，得15aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC，aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC，aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC.相加，得3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)(A＋B＋C)＝π(a＋b＋c)．得≥，①又由0＜b＋c－a,0＜a＋b－c,0＜a＋c－b，有0＜A(b＋c－a

12、)＋C(a＋b－c)＋B(a＋c－b)＝a(B＋C－A)＋b(A＋C－B)＋c(A＋B－C)＝a(π－2A)＋b(π－2B)＋c(π－2C)＝(a＋b＋c)π－2(aA＋bB＋cC)．得＜.②由①、②得原不等式成立.利用平均值不等式求最值1．求函数的最值在利用平均值不等式求函数最值时，一定要满足下列三个条件：(1)各项均为正数．(2)“和”或“积”为定值．(3)等号一定能取到，这三个条件缺一不可．2．解决实际问题由于受算术平均与几何平均定理求最值的约束条件的限制，在求最值时常常需要对解析式进行合理的变形．对于一些分式结构的函数，当分子中变量的次数不小于分母中变量的次数时，通常

13、采用分离变量(或常数)的方法，拼凑出和的形式，若积为定值则可用平均值不等式求解．[例7]　已知0＜x＜，求函数y＝x(1－3x)的最大值．[解]　y＝x(1－3x)＝×3x×(1－3x)，∵0＜x＜，∴1－3x＞0，x＞0.∴y＝x(1－3x)15＝×3x×(1－3x)≤×2＝.当且仅当3x＝1－3x即x＝，y有最大值.[例8]　若a>b>0，则代数式a2＋的最小值为(　　)A．2B．3C．4D．5[解析]　依题意得a－b>0，所以代数式a2＋≥a2＋＝a2＋≥2＝4，当且仅当即a＝，b＝时取等号，因此