2019_2020学年高中数学第3章导数应用章末复习课学案北师大版

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1、第3章导数应用利用导数研究函数的单调性【例1】　设函数f(x)＝x－－alnx(a∈R)，讨论f(x)的单调性．思路探究：→[解]　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝1＋－＝.令g(x)＝x2－ax＋1，则对于方程x2－ax＋1＝0，Δ＝a2－4.(1)当－2≤a≤2时，Δ≤0，f′(x)≥0，只有当a＝2，x＝1或a＝－2，x＝－1时，等号成立，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．(2)当a<－2时，Δ>0，g(x)＝0的两根都小于0，g(x)在(0，＋∞)上单调递增，则在(0，＋∞)上g(x)>g(0)＝1，所以f′(x)>0，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增

2、．(3)当a>2时，Δ>0，g(x)＝0的两根为x1＝，x2＝.当00；当x1x2时，f′(x)>0.故函数f(x)在(0，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减．综上，当a≤2时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>2时，函数f(x)在，上单调递增，在上单调递减．利用导数研究单调性的步骤利用导数研究函数的单调性是导数的主要应用之一，其步骤为：(1)求函数的定义域，并求导；(2)研究导函数f′(x)的符号，解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；(3)确定函数的单调性或单调区间．在求导这一环节中，

3、往往要将导函数变形，其目的在于方便下一环节研究导函数的符号，常见的措施有化为基本初等函数、通分、因式分解等．1．已知函数f(x)＝x3－ax－1，讨论f(x)的单调区间．[解]　f′(x)＝3x2－a.(1)当a≤0时，f′(x)≥0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．(2)当a>0时，令3x2－a＝0，得x＝±，当x>或x<－时，f′(x)>0；当－0时，f(x)在，上为增函数，在上为减函数.利用导数研究函数的极值与最值【例2】　已知函数f(x)＝x3＋

4、ax2＋b的图像上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在区间[0，t](0

5、≤2时，在区间(0，t)上f′(x)<0，f(x)在[0，t]上是减函数，所以f(x)max＝f(0)＝2，f(x)min＝f(t)＝t3－3t2＋2．②当2

6、．[解]　令g(x)＝f(x)－c＝x3－3x2＋2－c，g′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．在x∈[1,2)上，g′(x)<0；在x∈(2,3]上，g′(x)>0.要使g(x)＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，则解得－2

7、值与区间端点函数值比较即可．2．已知函数f(x)＝－x3＋12x＋m.(1)若x∈R，求函数f(x)的极大值与极小值之差；(2)若函数y＝f(x)有三个零点，求m的取值范围；(3)当x∈[－1,3]时，f(x)的最小值为－2，求f(x)的最大值．[解]　(1)f′(x)＝－3x2＋12．当f′(x)＝0时，x＝－2或x＝2．当f′(x)＞0时，－2＜x＜2．当f′(x)＜0时，x＜－2或x＞2．∴f(x)在(－∞，－2)，(2，＋∞