2019_2020学年高中数学第3讲柯西不等式与排序不等式2一般形式的柯西不等式学案新人教A版

《2019_2020学年高中数学第3讲柯西不等式与排序不等式2一般形式的柯西不等式学案新人教A版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、二　一般形式的柯西不等式学习目标：1.掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．(重点)2.会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．(重点、难点)教材整理1　三维形式的柯西不等式阅读教材P37～P38“探究”以上部分，完成下列问题．设a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，则(a＋a＋a)·(b＋b＋b)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2.当且仅当b1＝b2＝b3＝0或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2,3)时，等号成立．我们把该不等式称为三维形式的柯西不等式．已知x，y，z∈R＋且x＋y＋z＝1，

2、则x2＋y2＋z2的最小值是(　　)A．1　　　　B.　　　　C.　　　　D．2B　[根据柯西不等式，x2＋y2＋z2＝(12＋12＋12)·(x2＋y2＋z2)≥(1×x＋1×y＋1×z)2＝(x＋y＋z)2＝.]教材整理2　一般形式的柯西不等式阅读教材P38～P40，完成下列问题．设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2.当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1

3、,2，…，n)时，等号成立．已知a＋a＋…＋a＝1，x＋x＋…＋x＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是(　　)A．1B．2C．3D．4A　[(a1x1＋a2x2＋…＋anxn)2≤(a＋a＋…＋a)(x＋x＋…＋x)＝1×1＝1，当且仅当＝＝…＝＝1时取等号，∴a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是1.]利用柯西不等式求最值【例1】　已知a，b，c∈(0，＋∞)，＋＋＝2，求a＋2b＋3c的最小值及取得最小值时a，b，c的值．[精彩点拨]　由于＋＋＝2，可考虑把已知条件与待求式子结合起

4、来，利用柯西不等式求解．[自主解答]　∵a，b，c∈(0，＋∞)，∴·(a＋2b＋3c)＝＋＋[()2＋()2＋()2]≥＝(1＋2＋3)2＝36.又＋＋＝2，∴a＋2b＋3c≥18，当且仅当a＝b＝c＝3时等号成立，综上，当a＝b＝c＝3时，a＋2b＋3c取得最小值18.利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．1．已知x＋4y＋9z＝1，求x2＋y2＋z2的最小值．[解]　由柯西不等式，知(x＋4y＋9z)2≤(12＋42＋92)(x2＋y2

5、＋z2)＝98(x2＋y2＋z2)．又x＋4y＋9z＝1，∴x2＋y2＋z2≥，(*)当且仅当x＝＝时，等号成立，∴x＝，y＝，z＝时，(*)取等号．因此，x2＋y2＋z2的最小值为.运用柯西不等式求参数的取值范围【例2】　已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝xyz，且不等式＋＋≤λ恒成立，求λ的取值范围．[精彩点拨]　“恒成立”问题需求＋＋的最大值，设法应用柯西不等式求最值．[自主解答]　∵x>0，y>0，z>0.且x＋y＋z＝xyz.∴＋＋＝1.又＋＋≤＝≤＝，当且仅当x＝y＝z，即x＝y＝z＝时等号

6、成立．∴＋＋的最大值为.故＋＋≤λ恒成立时，应有λ≥.因此λ的取值范围是.应用柯西不等式，首先要对不等式形式、条件熟练掌握，然后根据题目的特点“创造性”应用定理．2．已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，试求a的取值范围．[解]　由a＋b＋c＋d＝3，得b＋c＋d＝3－a，由a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，得2b2＋3c2＋6d2＝5－a2，(2b2＋3c2＋6d2)≥(b＋c＋d)2，即2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2.由条件可得，5－a2≥(3－a

7、)2，解得1≤a≤2，所以实数a的取值范围是[1,2].利用柯西不等式证明不等式[探究问题]在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为ai＝kbi(i＝1,2,3，…，n)，可以吗？[提示]　不可以．若bi＝0而ai≠0，则k不存在．【例3】　已知a，b，c∈R＋，求证：＋＋≥9.[精彩点拨]　对应三维形式的柯西不等式，a1＝，a2＝，a3＝，b1＝，b2＝，b3＝，而a1b1＝a2b2＝a3b3＝1，因而得证．[自主解答]　∵a，b，c∈R＋，由柯西不等式，知＝＋＋×＋＋≥＝(1＋1＋1)2＝9，∴

8、≥9.1．当ai，bi是正数时，柯西不等式变形为(a1＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)≥(＋＋…＋)2.2．本题证明的关键在于构造两组数，创造使用柯西不等式的条件．在运用柯西不等式时，要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确配凑出公式两侧的数组．3．已知函数f(x)＝m－

9、x－2

10、，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]．(1)求m的值；(2)若a，b，c∈R＋，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.[解]　(1)因为