2019_2020学年高中数学第1章解三角形1.1.1正弦定理学案新人教B版必修5

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1、1.1.1　正弦定理学习目标核心素养1.掌握正弦定理及基本应用．(重点)2．会判断三角形的形状．(难点)3．能根据正弦定理确定三角形解的个数．(难点、易混点)1.借助正弦定理的推导，提升学生的逻辑推理的素养．2．通过正弦定理的应用的学习，培养学生的数学运算的素养.1．正弦定理2．解三角形(1)一般地，我们把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的元素．(2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．思考：利用正弦定理解三角形需要哪些条件？[提示]　需要两角和一边或两边和其中一边的对角．1．在△ABC中，已知a＝

2、3，b＝5，sinA＝.则sinB＝(　　)A．　　　　　B．C．D．1B　[由正弦定理＝可得，sinB＝＝＝，故选B．]2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，若∠B＝30°，b＝2，则的值是(　　)A．2B．3C．4D．6C　[由正弦定理可得＝＝＝4.]3．在△ABC中，若＝，则∠B的大小为______________．45°　[由正弦定理知＝，∴sinB＝cosB，∴∠B＝45°.]4．在△ABC中，－－＝________.0　[由于＝＝，所以－－＝＋＝0.]已知两角及一边解三角形【例1】　

3、(1)在△ABC中，已知c＝10，∠A＝45°，∠C＝30°，求a，b；(2)在△ABC中，已知a＝8，∠B＝60°，∠C＝75°，求∠A，b，c．[解]　(1)法一：∵∠A＝45°，∠C＝30°，∴∠B＝180°－(∠A＋∠C)＝105°.由＝得a＝＝＝10.∵sin105°＝sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝，∴b＝＝20×＝5＋5.法二：设△ABC外接圆的直径为2R，则2R＝＝＝20.易知∠B＝180°－(∠A＋∠C)＝105°，∴a＝2RsinA＝20

4、×sin45°＝10，b＝2RsinB＝20×sin105°＝20×＝5＋5.(2)∠A＝180°－(∠B＋∠C)＝180°－(60°＋75°)＝45°.由正弦定理＝，得b＝＝＝4.由＝，得c＝＝＝＝4(＋1)．已知三角形的两角和任一边解三角形，基本思路是：(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角．(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．1．在△ABC中，a＝5，∠B＝45°，∠C＝105°，求边c．[解]　由三角

5、形内角和定理知∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以∠A＝180°－(∠B＋∠C)＝180°－(45°＋105°)＝30°.由正弦定理＝，得c＝a·＝5·＝5·＝5·＝(＋)．已知两边及一边的对角解三角形【例2】　在△ABC中，分别根据下列条件解三角形：(1)a＝1，b＝，∠A＝30°；(2)a＝，b＝1，∠B＝120°.[解]　(1)根据正弦定理，sinB＝＝＝.∵b>a，∴∠B>∠A＝30°，∴∠B＝60°或120°.当∠B＝60°时，∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－(30°＋60°)＝90°，∴c＝＝＝2；

6、当∠B＝120°时，∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－(30°＋120°)＝30°＝∠A，∴c＝a＝1.(2)根据正弦定理，sinA＝＝＝>1.因为sinA≤1.所以A不存在，即无解．已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法：(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．2．已知△

7、ABC，根据下列条件，解三角形：(1)a＝2，c＝，∠C＝；(2)a＝2，c＝，∠A＝.[解]　(1)∵＝，∴sinA＝＝.∵c>a，∴∠C>∠A．∴∠A＝.∴∠B＝，b＝＝＝＋1.(2)∵＝，∴sinC＝＝.又∵a

8、BCD中，BC＝BD·sin∠BDC，所以a＝2RsinA，即＝2R，同理＝2R，＝2R，所以＝＝＝2R.2．根据正弦定理的特点，我们可以利用正弦定理解决哪些类型的解三角形问题？[提示]　利用正弦定理，可以解决：(1)已知两边和其中一边的对角解三角形；(2)已知两角和其中一角的对边解三角形．3．由＝＝可以得到a∶b∶c＝sinA∶sinB∶si