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《2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第3章 空间向量与立体几何 3.1.1 Word版含答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、数学新学案同步精致讲义选修§3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其线性运算学习目标 1.了解空间向量的概念,掌握空间向量的几何表示与字母表示.2.掌握空间向量的线性运算(加法、减法和数乘)及其运算律．知识点一 空间向量的概念思考 类比平面向量的概念,给出空间向量的概念．答案 在空间,把具有大小和方向的量叫做空间向量．梳理 (1)在空间,把具有大小和方向的量叫做空间向量,向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量也用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的模,向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可记作,其模记为
2、a
3、或
4、
5、.(2)
6、几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量规定长度为0的向量叫做零向量,记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量,称为a的相反向量,记为－a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量,同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量知识点二 空间向量及其线性运算1．空间向量的线性运算已知空间向量a,b,在空间任取一点O,作＝a,＝b,＝c,与平面向量的运算一样,苏教版数学新学案同步精致讲义选修空间向量的加法、减法与数乘运算的意义为：＝＋＝a＋c；＝－＝a－b＝－c.若P在直线OA上,则＝λa(λ∈R)．2．
7、空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律：(1)a＋b＝b＋a；(2)(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R)．知识点三 共线向量(或平行向量)1．定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量．若向量a与b平行,记作a∥b,规定零向量与任意向量共线．2．共线向量定理：对空间任意两个向量a,b(a≠0),b与a共线的充要条件是存在实数λ,使b＝λa.1．在空间中,单位向量唯一．(×)2．在空间中,任意一个向量都可以进行平移．(√)3．在空间中,互为相反向量的两
8、个向量必共线．(√)4．空间两非零向量相加时,一定可用平行四边形法则运算．(×)类型一 空间向量的概念及应用例1 如图所示,以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中：(1)试写出与相等的所有向量；(2)试写出的相反向量；(3)若AB＝AD＝2,AA1＝1,求向量的模．解 (1)与向量相等的所有向量(除它自身之外)有,及,共3个．苏教版数学新学案同步精致讲义选修(2)向量的相反向量有,,,,共4个．(3)
9、
10、＝＝＝＝3.引申探究如图,在长方体ABCD－A′B′C′D′中,AB＝3,AD＝2,AA′＝1,则分
11、别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：(1)单位向量共有多少个？(2)试写出模为的所有向量．解 (1)由于长方体的高为1,所以长方体的四条高所对应的向量,,,,,,,,共8个向量都是单位向量,而其他向量的模均不为1,故单位向量共有8个．(2)由于长方体的左右两侧面的对角线的长均为,故模为的向量有,,,,,,,.反思与感悟 在空间中,向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致,两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等,方向相反．跟踪训练1 给出以下结论：①两个空间向量相等
12、,则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量a,b满足
13、a
14、＝
15、b
16、,则a＝b；③在正方体ABCD－A1B1C1D1中,必有＝；④若空间向量m,n,p满足m＝n,n＝p,则m＝p.其中不正确的命题的序号为________．答案 ①②解析 两个空间向量相等,它们的起点、终点不一定相同,故①不正确；若空间向量a,b满足
17、a
18、＝
19、b
20、,则不一定能判断出a＝b,故②不正确；在正方体ABCD－A1B1C1D1中,必有＝成立,故③正确；④显然正确．苏教版数学新学案同步精致讲义选修类型二 空间向量的线性运算例2 如图,已知长方体ABCD－A′B′C
21、′D′,化简下列向量表达式,并在图中标出化简结果的向量．(1)－；(2)＋＋.解 (1)－＝－＝＋＝.(2)＋＋＝(＋)＋＝＋＝.向量,如图所示．引申探究利用本例题图,化简＋＋＋.解 结合加法运算,得＋＝,＋＝,＋＝0.故＋＋＋＝0.反思与感悟 1.化简向量表达式时,要结合空间图形,分析各向量在图形中的表示,然后利用运算法则,把空间向量转化为平面向量解决,并化简到最简为止．2．首尾相接的若干个向量的和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；若首尾相接的若干个向量构成一个封闭图形,则这些向量的和为0.跟踪训练2 在如图所示的平行
22、六面体中,求证：＋＋＝2.证明 ∵平行六面体的六个面均为平行四边形,苏教版数学新学案同步精致讲义选修∴＝＋,＝＋,＝＋,∴＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝2(＋＋)．又∵＝,＝,∴＋＋＝＋＋＝＋＝.∴＋＋＝2.类型三 向量
