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1、大明教育高一学生使用主备人:刘老师使用时间:2011-9-18第一讲:集合的概念及其基本运算要点梳理1.集合与元素(1)集合元素的三个特征:、、.(2)元素与集合的关系是或关系,用符号或表示.(3)集合的表示法:、、、.(4)常用数集:自然数集N;正整数集N*(或N+);整数集Z;有理数集Q;实数集R.(5)集合的分类:按集合中元素个数划分,集合可以分为、、.2.集合间的基本关系(1)子集、真子集及其性质对任意的x∈A,都有x∈B,则A⊆B(或B⊇A).若A⊆B,且在B中至少有一个元素x∈B,但x∉A,则(或).∅A;A
2、A;A⊆B,B⊆C⇒AC.若A中含有n个元素,则A的子集有个,A的非空子集有个,A的非空真子集有个.(2)集合相等若A⊆B且B⊆A,则.3.集合的运算及其性质(1)集合的并、交、补运算并集:A∪B={x
3、x∈A,或x∈B};交集:A∩B=;补集:∁UA=.U为全集,∁UA表示A相对于全集U的补集.(2)集合的运算性质并集的性质:A∪∅=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A⇔B⊆A.交集的性质:A∩∅=∅;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔A⊆B.补集的性质:A∪(∁UA)=U;A∩(∁UA)=∅;∁U(∁UA
4、)=A.[难点正本 疑点清源]1.正确理解集合的概念正确理解集合的有关概念,特别是集合中元素的三个特征,尤其是“确定性和互异性”在解题中要注意运用.在解决含参数问题时,要注意检验,否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误.-6-大明教育高一学生使用主备人:刘老师使用时间:2011-9-182.注意空集的特殊性空集是不含任何元素的集合,空集是任何集合的子集.在解题时,若未明确说明集合非空时,要考虑到集合为空集的可能性.例如:A⊆B,则需考虑A=∅和A≠∅两种可能的情况.3.正确区分∅,{0},{∅}∅是不含任何元素的
5、集合,即空集.{0}是含有一个元素0的集合,它不是空集,因为它有一个元素,这个元素是0.{∅}是含有一个元素∅的集合.∅⊆{0},∅⊆{∅},∅∈{∅},{0}∩{∅}=∅.基础自测1.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},B={1,3,5,7},则A∩(∁UB)=________.2.(2010·江苏)设集合A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},则实数a的值为________.3.已知集合A={-1,0,4},集合B={x
6、x2-2x-3≤0,x∈N},全集为U,则图
7、中阴影部分表示的集合是.4.已知集合A=(-∞,0],B={1,3,a},若A∩B≠∅,则实数a的取值范围是______.题型分类深度剖析题型一 集合的基本概念例1定义集合运算:A⊙B={z
8、z=xy(x+y),x∈A,y∈B},设集合A={0,1},B={2,3},则集合A⊙B的所有元素之和为________.变式训练1设a,b∈R,集合={a2,a+b,0},则a2011+b2012的值为________.题型二 集合与集合的基本关系例2已知集合A={x
9、010、围;(2)若B⊆A,求实数a的取值范围;(3)A、B能否相等?若能,求出a的值;若不能,试说明理由.-6-大明教育高一学生使用主备人:刘老师使用时间:2011-9-18变式训练2设A={x
11、x2+4x=0},B={x
12、x2+2(a+1)x+a2-1=0},(1)若B⊆A,求a的值;(2)若A⊆B,求a的值.题型三 集合的基本运算例3若集合A={x
13、x2-2x-8<0},B={x
14、x-m<0}.(1)若m=3,全集U=A∪B,试求A∩(∁UB);(2)若A∩B=∅,求实数m的取值范围;(3)若A∩B=A,求实数m的取值范围
15、.变式训练3(2010·重庆)设U={0,1,2,3},A={x∈U
16、x2+mx=0},若∁UA={1,2},则实数m=________.-6-大明教育高一学生使用主备人:刘老师使用时间:2011-9-18易错警示1.忽略空集致误试题:(5分)已知集合A={-1,1},B={x
17、ax+1=0},若B⊆A,则实数a的所有可能取值的集合为____.解析 当a=0时,B=∅⊆A,符合要求.当a≠0时,B=⊆A.∴-=1或-=-1,即a=-1或a=1.∴实数a的所有可能取值的集合为{-1,0,1}.批阅笔记 本题考查的重点是集合
18、的关系以及集合元素的特征.在解答本题时,存在两个突出错误.一是极易忽略集合B为∅的情况;二是忽视对B中的元素-的值为1或-1的讨论.在解决类似问题时,一定要注意分类讨论,避免误解.思想方法感悟提高方法与技巧1.集合中的元素的三个性质,特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验,要重视符号语言与文字语言之间