2019_2020学年高中数学第2章变化率与导数1变化的快慢与变化率学案北师大版

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1、§1　变化的快慢与变化率学习目标核心素养1．了解函数的平均变化率和瞬时变化率的定义，会求简单函数的平均变化率．(重点)2．知道用平均变化率“逼近”瞬时变化率，知道变化率是描述函数变化快慢的量．(重点、难点)1．通过变化率是描述函数变化快慢的量的学习，培养了学生直观想象和数学抽象的核心素养.2．借助求简单函数的平均变化率的学习，养成了学生的数学运算的核心素养.1．函数的平均变化率(1)定义：对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它的平均变化率为.通常我们把自变量的变化x2－x1称作自变量的改变量，记作

2、Δx，函数值的变化f(x2)－f(x1)称作函数值的改变量，记作Δy.这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即＝.(2)作用：平均变化率用来刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．思考：函数的平均变化率是固定不变的吗？[提示]　不一定．当x0取定值，Δx取不同的数值时，函数的平均变化率不一定相同；当Δx取定值，x0取不同的数值时，函数的平均变化率也不一定．2．函数的瞬时变化率(1)定义：对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0),则函数的平均变化率

3、是＝＝.当Δx趋于0时，平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率．(2)作用：瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢．1．如图，函数y＝f(x)在[1,3]上的平均变化率为(　　)A．1　　　　B．－1C．2D．－2B　[＝＝＝－1．]2．一质点运动规律是s＝t2＋3(s的单位为m，t的单位为s)，则在t＝1s时的瞬时速度估计是________m/s.2　[Δs＝s(1＋Δt)－s(1)＝(1＋Δt)2＋3－(12＋3)＝2Δt＋(Δt)2，∴＝＝2＋Δt，当Δt趋于0时，趋于2．]3．一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)从x1到x2的平均变化率为_

4、_______．a　[一次函数的图像为一条直线，图像上任意两点连线的斜率固定不变，故一次函数在定义域内的任意两个自变量取值之间的平均变化率都等于常数a.]求函数的平均变化率【例1】　(1)已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为(　　)A．0.40　　　B．0.41C．0.43D．0.44(2)已知函数f(x)＝x＋，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．思路探究：(1)由Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(2＋0.1)－f(2)可得．(2)→→B　[(1)Δy

5、＝f(2＋Δx)－f(2)＝f(2．1)－f(2)＝2．12－22＝0.41．](2)[解]　自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为＝＝；自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为＝＝.因为<，所以函数f(x)＝x＋在自变量x从3变到5时函数值变化得较快．1．求函数平均变化率的三个步骤第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1．第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)．第三步，求平均变化率＝.2．求平均变化率的一个关注点求点x0附近的平均变化率，可用的形式．1．函数y＝x2＋1在[1,1＋Δx]上的平均变化率是(　　)A．2B．2

6、xC．2＋ΔxD．2＋(Δx)2C　[∵Δy＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx＋(Δx)2，∴＝＝2＋Δx，故选C.]平均变化率的实际应用【例2】　甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，试比较两人的速度哪个快？思路探究：比较相同的时间Δt内，两人走过的路程的平均变化率的大小即可得出结果．[解]　在t0处，s1(t0)＝s2(t0)，但s1(t0－Δt)>s2(t0－Δt)，故<.所以在相同时间内乙的速度比甲的速度快，因此，在如题图所示的整个运动过程中乙的速度比甲的速度快．平均变化率的意义1．本题中比较两人的速度，其实

7、就是比较两人走过的路程对时间的平均变化率，通过比较平均变化率的大小关系得出结论．2．平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化越慢．2．某手机配件生产流水线共有甲、乙两条，产量s(单位：个)与时间t(单位：天)的关系如图所示，则接近t0天时，下列结论中正确的是(　　)A．甲的日生产量大于乙的日生产量B．甲的日生产量小于乙的日生产量C．甲的日生产量等于乙的日生产量D．无法判定甲的日生产量与乙的日生产量的大小B　[由平均变化率的几何意义可知，当接近于t0时，曲

8、线乙割线的斜率大于曲线甲割线的斜率，故乙的日产量大于甲的日产量．]瞬时变化率[探究问题]1．高