资源描述：
《高考数学必考题型解析几何 (2)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第37练 圆锥曲线中的探索性问题题型一 定值、定点问题例1 已知椭圆C：＋＝1经过点(0,),离心率为,直线l经过椭圆C的右焦点F交椭圆于A、B两点、(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l交y轴于点M,且＝λ,＝μ,当直线l的倾斜角变化时,探求λ＋μ的值是否为定值？若是,求出λ＋μ的值；否则,请说明理由、破题切入点 (1)待定系数法、(2)通过直线的斜率为参数建立直线方程,代入椭圆方程消y后可得点A,B的横坐标的关系式,然后根据向量关系式＝λ,＝μ.把λ,μ用点A,B的横坐标表示出来,只要证明λ＋μ的值与直线的斜率k无关即证明了其为定值
2、,否则就不是定值、解 (1)依题意得b＝,e＝＝,a2＝b2＋c2,∴a＝2,c＝1,∴椭圆C的方程为＋＝1.(2)因直线l与y轴相交于点M,故斜率存在,又F坐标为(1,0),设直线l方程为y＝k(x－1),求得l与y轴交于M(0,－k),设l交椭圆A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0,∴x1＋x2＝,x1x2＝,又由＝λ,∴(x1,y1＋k)＝λ(1－x1,－y1),∴λ＝,同理μ＝,∴λ＋μ＝＋＝＝＝－.所以当直线l的倾斜角变化时,直线λ＋μ的值为定值－.题型二 定直线问题例
3、2 在平面直角坐标系xOy中,过定点C(0,p)作直线与抛物线x2＝2py(p>0)相交于A,B两点、(1)若点N是点C关于坐标原点O的对称点,求△ANB面积的最小值；(2)是否存在垂直于y轴的直线l,使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在,求出l的方程；若不存在,请说明理由、破题切入点 假设符合条件的直线存在,求出弦长；利用变量的系数恒为零求解、解 方法一 (1)依题意,点N的坐标为N(0,－p),可设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y＝kx＋p,与x2＝2py联立得消去y得x2－2pkx－2p2＝0
4、.由根与系数的关系得x1＋x2＝2pk,x1x2＝－2p2.于是S△ABN＝S△BCN＋S△ACN＝·2p
5、x1－x2
6、＝p
7、x1－x2
8、＝p＝p＝2p2,∴当k＝0时,(S△ABN)min＝2p2.(2)假设满足条件的直线l存在,其方程为y＝a,AC的中点为O′,l与以AC为直径的圆相交于点P,Q,PQ的中点为H,则O′H⊥PQ,Q′点的坐标为(,)、∵
9、O′P
10、＝
11、AC
12、＝＝,
13、O′H
14、＝＝
15、2a－y1－p
16、,∴
17、PH
18、2＝
19、O′P
20、2－
21、O′H
22、2＝(y＋p2)－(2a－y1－p)2＝(a－)y1＋a(p－a),∴
23、PQ
24、2＝(
25、2
26、PH
27、)2＝4[(a－)y1＋a(p－a)]、令a－＝0,得a＝,此时
28、PQ
29、＝p为定值,故满足条件的直线l存在,其方程为y＝,即抛物线的通径所在的直线、方法二 (1)前同方法一,再由弦长公式得
30、AB
31、＝
32、x1－x2
33、＝·＝·＝2p·,又由点到直线的距离公式得d＝.从而S△ABN＝·d·
34、AB
35、＝·2p··＝2p2.∴当k＝0时,(S△ABN)min＝2p2.(2)假设满足条件的直线l存在,其方程为y＝a,则以AC为直径的圆的方程为(x－0)(x－x1)－(y－p)(y－y1)＝0,将直线方程y＝a代入得x2－x1x＋(a－p)(
36、a－y1)＝0,则Δ＝x－4(a－p)(a－y1)＝4[(a－)y1＋a(p－a)]、设直线l与以AC为直径的圆的交点为P(x3,y3),Q(x4,y4),则有
37、PQ
38、＝
39、x3－x4
40、＝＝2.令a－＝0,得a＝,此时
41、PQ
42、＝p为定值,故满足条件的直线l存在,其方程为y＝,即抛物线的通径所在的直线、题型三 定圆问题例3 已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为,两个焦点分别为F1和F2,椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12,圆Ck：x2＋y2＋2kx－4y－21＝0(k∈R)的圆心为点Ak.(1)求椭圆G的方程；(2)求
43、△AkF1F2的面积；(3)问是否存在圆Ck包围椭圆G？请说明理由、破题切入点 (1)根据定义待定系数法求方程、(2)直接求、(3)关键看长轴两端点、解 (1)设椭圆G的方程为＋＝1(a>b>0),半焦距为c,则解得所以b2＝a2－c2＝36－27＝9.所以所求椭圆G的方程为＋＝1.(2)点Ak的坐标为(－k,2),S△AkF1F2＝×
44、F1F2
45、×2＝×6×2＝6.(3)若k≥0,由62＋02＋12k－0－21＝15＋12k>0,可知点(6,0)在圆Ck外；若k<0,由(－6)2＋02－12k－0－21＝15－12k>0,可知点(－
46、6,0)在圆Ck外、所以不论k为何值,圆Ck都不能包围椭圆G.即不存在圆Ck包围椭圆G.总结提高 (1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题,基本思想是使用参数表示要解决的问题,证明要解决的问题与参数无关、在这类试题
