2019_2020学年高中数学第2讲证明不等式的基本方法章末复习课学案新人教A版

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1、第2讲证明不等式的基本方法[自我校对]　①作差法　②综合法　③执果索因　④放缩法　⑤间接证明比较法证明不等式比较法证明不等式的依据是：不等式的意义及实数大小与运算的关系．其主要步骤是：作差——恒等变形——判断差值的符号——结论．其中，变形是证明推理中的关键，变形的目的在于判断差的符号．【例1】　设a≥b＞0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.[自主解答]　3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)＝(a－b)(3a2－2b2)．∵a≥b＞0，∴a－b≥0,3a2－2b2≥2

2、a2－2b2≥0，从而(3a2－2b2)(a－b)≥0，故3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2成立．1．若a＝，b＝，c＝，则(　　)A．a＜b＜c　　　　　B．c＜b＜aC．c＜a＜bD．b＜a＜cC　[a与b比较：a＝＝，b＝＝.∵9＞8，∴b＞a，b与c比较：b＝＝，c＝＝.∵35＞53，∴b＞c，a与c比较：a＝＝，c＝.∵32＞25，a＞c，∴b＞a＞c，故选C.]综合法、分析法证明不等式分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因导果”逐步推导出不等式成立的必要条件，两者是对立统

3、一的两种方法，一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手．因此通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用．【例2】　已知实数x，y，z不全为零，求证：＋＋＞(x＋y＋z)．[自主解答]　因为＝≥＝≥x＋，同理可证：≥y＋，≥z＋.由于x，y，z不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式累加得：＋＋＞＋＋＝(x＋y＋z)，所以有＋＋＞(x＋y＋z)．2．设a，b，c均为大于1的正数，且ab＝10.求证：logac＋logbc≥4lgc.[证明]　由于a＞1，b

4、＞1，故要证明logac＋logbc≥4lgc，只要证明＋≥4lgc.又c＞1，故lgc＞0，所以只要证＋≥4，即≥4.因ab＝10，故lga＋lgb＝1，只要证明≥4.(*)由a＞1，b＞1，故lga＞0，lgb＞0，所以0＜lga·lgb≤＝＝，即(*)式成立．所以，原不等式logac＋logbc≥4lgc得证.反证法证明不等式若直接证明难以入手时，“正难则反”，可利用反证法加以证明；若要证明不等式两边差异较大时，可考虑用放缩法进行过渡从而达到证明目的．【例3】　若a，b，c，x，y，z均为实数，且a＝x2－

5、2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋，求证：a，b，c中至少有一个大于0.[自主解答]　设a，b，c都不大于0，则a≤0，b≤0，c≤0，∴a＋b＋c≤0，由题设知，a＋b＋c＝＋＋＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3，∴a＋b＋c＞0，这与a＋b＋c≤0矛盾，故a，b，c中至少有一个大于0.3.如图，已知在△ABC中，∠CAB＞90°，D是BC的中点，求证：AD＜BC.[证明]　假设AD≥BC.(1)若AD＝BC，由平面几何定理“若三角形一

6、边上的中线等于该边长的一半，那么这条边所对的角为直角”，知∠A＝90°，与题设矛盾，所以AD≠BC.(2)若AD＞BC，因为BD＝DC＝BC，所以在△ABD中，AD＞BD，从而∠B＞∠BAD.同理∠C＞∠CAD.所以∠B＋∠C＞∠BAD＋∠CAD，即∠B＋∠C＞∠A.因为∠B＋∠C＝180°－∠A，所以180°－∠A＞∠A，即∠A＜90°，与已知矛盾，故AD＞BC不成立．由(1)(2)知AD＜BC成立.用放缩法证明不等式在证明不等式时，有时需要舍去或添加一些项，使不等式的一边放大或缩小，然后利用不等式的传递性，达

7、到证明的目的．运用放缩法证明的关键是放缩要适当，既不能太大，也不能太小．【例4】　已知a，b，c为三角形的三条边，求证：，，也可以构成一个三角形．[自主解答]　设f(x)＝，x∈(0，＋∞)．设00，∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数．∵a，b，c为三角形的三条边，于是a＋b>c，∴<＝＋<＋，即<＋，同理<＋，<＋，∴以，，为边可以构成一个三角形．4．已知

8、x

9、＜，

10、y

11、＜，

12、z

13、＜，求证：

14、x＋2y－3z

15、＜ε.[证明]　∵

16、x

17、＜，

18、y

19、＜，

20、z

21、＜，∴

22、x＋2

23、y－3z

24、＝

25、1＋2y＋(－3z)

26、≤

27、x

28、＋

29、2y

30、＋

31、－3z

32、＝

33、x

34、＋2

35、y

36、＋3

37、z

38、＜＋2×＋3×＝ε.∴原不等式成立．1．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　)A．　　　　　　　B．2C．2D．4C　[由＋＝知a>0，b>0，所以＝＋≥2，即ab≥2，当且仅当即a＝，b＝2时取“＝”，所以ab的最小值为2.]2．设a，b>0，a＋b＝5，则＋的最大值为