2019_2020学年高中数学第4讲用数学归纳法证明不等式章末复习课学案新人教A版

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1、第4讲用数学归纳法证明不等式[自我校对]　①等式问题　②证明不等式　③贝努利不等式归纳递推要用好归纳假设数学归纳法中两步缺一不可，第一步归纳奠基，第二步起到递推传递作用．在第二步的证明中，首先进行归纳假设，而且必须应用归纳假设(n＝k时命题成立)，推出n＝k＋1时，命题成立．【例1】　用数学归纳法证明：对于n∈N＋，＋＋＋…＋＝.[自主解答]　(1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝，所以等式成立．(2)假设n＝k时等式成立，即＋＋＋…＋＝，当n＝k＋1时，＋＋＋…＋＋＝＋＝＝，所以当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知对于任意的自然数n，等式都成立．1．数列的前n项的和

2、记为Sn.(1)求出S1，S2，S3的值；(2)猜想出Sn的表达式；(3)用数学归纳法证明你的猜想．[解]　(1)S1＝，S2＝，S3＝.(2)猜想：Sn＝.(3)证明：①当n＝1时S1＝a1＝，右边＝.等式成立．②假设当n＝k时，Sk＝，则当n＝k＋1时，Sk＋1＝Sk＋ak＋1＝＋＝＝＝，即当n＝k＋1时，等式成立，∴Sn＝.不等式证明中的强化命题如果c为常数，用数学归纳法证明f(n)

3、．【例2】　证明不等式＋＋…＋<1(n≥2，n∈N＋)．[自主解答]　可先证明＋＋…＋<1－(n≥2)，(*)对(*)运用数学归纳法证明：(1)当n＝2时，(*)显然成立．(2)设n＝k时，不等式(*)成立，即＋＋…＋<1－.当n＝k＋1时，＋＋…＋＋<1－＋<1－＋＝1－＋＝1－.故当n＝k＋1时，不等式(*)成立．根据(1)和(2)知，对n∈N＋且n≥2，不等式(*)成立，故原不等式成立．2．设0

4、N＋)时，命题成立，即1＜ak＜.当n＝k＋1时，由递推公式，知ak＋1＝＋a＞(1－a)＋a＝1.同理，ak＋1＝＋a＜1＋a＝＜.故当n＝k＋1时，命题也成立，即1＜ak＋1＜.综合(1)(2)可知，对一切正整数n，有1＜an＜.从特殊到一般的数学思想方法探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此种问题未给出结论，需要从特殊情况入手，猜想、探索出结论，再对结论进行证明，主要是应用数学归纳法．【例3】　已知数列{bn}是等差数列，且b1＝1，b1＋b2＋…＋b10＝145.(1)求数列{bn}的通项公式bn；(2)设数列{an}的通项an＝loga(其中a＞0，且

5、a≠1)，Sn是数列{an}的前n项和．试比较Sn与logabn＋1的大小，并证明你的结论．[自主解答]　(1)设数列{bn}的公差为d.由题意得解得故bn＝1＋3(n－1)＝3n－2.(2)由bn＝3n－2知，Sn＝loga(1＋1)＋loga＋…＋loga＝loga.又logabn＋1＝loga，因此要比较Sn与logabn＋1的大小，可先比较(1＋1)·…与的大小．取n＝1，有(1＋1)＞；取n＝2，有(1＋1)＞.由此推测(1＋1)…＞.①若①式成立，则由对数函数性质可判定：当a＞1时，Sn＞logabn＋1；当0＜a＜1时，Sn＜logabn＋1.下面用数学归纳法

6、证明①式成立：a．当n＝1时，已验证①式成立．b．假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时①式成立，即(1＋1)…＞.那么，当n＝k＋1时，(1＋1)…1＋·＞＝(3k＋2)．∵－[]3＝＝＞0，∴(3k＋2)＞＝.因而(1＋1)…＞＝.∴当n＝k＋1时①式成立．由a，b知①式对任意正整数n都成立．由此证得：当a＞1时，Sn＞logabn＋1；当0＜a＜1时，Sn＜logabn＋1.3．在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列．(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公

7、式，并证明你的结论；(2)证明：＋＋…＋<.[解]　(1)由条件得2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1.由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.猜测an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2.用数学归纳法证明：①当n＝1时，由上可得结论成立．②假设当n＝k时，结论成立，即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2.那么当n＝k＋1时，ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，bk＋1＝＝(k＋2)2，所以当n＝k＋1时，结论也成立．由①②可知an＝n