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《2016_2017学年高中数学第4讲用数学归纳法证明不等式章末分层突破学案新人教A版选修4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、用数学归纳法证明不等式章末分层突破型込反JW叽］观固层•知识整I数学归II纳法I其他不等式［自我校対］①等式问题②证明不等式③贝努利不等式］提升层•能力强化、主题1归纳递推要用好归纳假设数学归纳法中两步缺一不可，第一步归纳奠基，第二步起到递推传递作用.在第二步的证明屮，首先进行归纳假设，而且必须应用归纳假设5=k时命题成立），推岀n=k+1时,命题成立.卜例n用数学归纳法证明：对于胆n+,丄+丄+丄+・••+—!—=亠1・22・33・4nn+1~n+V【规范解答】⑴当心1时，左边=Y^2=2f右边=寺所以等式成立.(2)假设n=k时等式成立,即1I1I1一I
2、一1
3、_k1・22・33・4kk+~k+lf当n=k+时,丄+丄+丄+・••+一1一+11・22・33・4kk+1k+1&+2=斗1A+lk+1k+2护+2&+1&+1==k+2f所以当n=k+1时，等式也成立.由(1)(2)可知对于任意的自然数刀，等式都成立.［再练一题］11-数列］一，的前〃项的和记为S“.(1)求出S,$,$的值；(2)猜想出$的表达式；(3)用数学归纳法证明你的猜想./、123【解】(1)•S=2,$=亍，$=孑(2)猜想：$=希.(3)证明：①当〃=1时S=0=*,右边=*.等式成立.斤+12«+17+1=A+2②假设当n=k时，$=祁［，
4、k
5、则当n=k+时，$+1=$+越+1=匸门+―石T]石R斤+1k+1+V即当n=k+1时，等式成立,・・・sn=—.主题2不等式证明屮的强化命题如果q为常数，用数学归纳法证明"a—类不等式时，从斤到k+的归纳过渡很易卡断思路，此时利用lim^(/7)=C,且MS把命题结论强化，即把c换成g(〃).由于归纳假设也随之加强，这样强化了命题更易于用数学归纳法证明.»例证明不等式*+*+<1(77^2,/7WN+).【规范解答】可先证明寺+*+…+夕1—+(心2),(*)对(*)运用数学归纳法证明：(1)当n=2时，(*)显然成立.(2)设n=k时，不等式(*)成立
6、,即寺+扑・・+*1-£当n=k+l时，1.1.,1.1z1_11.11/1、另+于+…+?+k+i2<1-灭+w+iki-九&+i=1_^+l7_I+Tj=11I+T*故当n=k+1时，不等式(*)成立.根据⑴和⑵知，对胆N+且心2,不等式(*)成立，故原不等式成立.［再练一题］2.设0(1—盘)+$=1.ak11—a1同理,如'=—+a<1+
7、a=~<"・ak—a—a故当n=k+时，命题也成立，即1V禺+i<—.1~a综合(1)(2)可知，对一切正整数/7,有1<禺<亠.主题3从特殊到一般的数学思想方法探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此种问题未给出结论，需要从特殊情况入手，猜想、探索出结论，再对结论进行证明，主要是应用数学归纳法.例己知数列｛&J是等差数列,且5=1,力i+厶Ao=145.(1)求数列｛&)｝的通项公式力"；(2)设数列&｝的通项禺=log(l+土)(其中日＞0,且mHl),$是数列&｝的前门项和.试比较$与的大小，并证明你的结论.方1=1,【规范解答】⑴设数列⑷的
8、公差为由题意得问+屮丄15,解得A=Ld=3,故人=1+3(/?—1)=3/?—2.(2)由bn=3/i—2知,$=1og,1+1)+1og(l+彳1og(l+3丄2=log[1+1(1+{)・・・(1+占).乂-logA+i因此要比较$与glog血M的大小，可先比较(1+1)・(1+扌｝・・(1+亏右詁与勿3/?+1的大小.取/7=1,有(1+1)＞勿3・1+1;取刀=2,有(1+1)(1+》＞引3・2+1.由此推测仃+1)(1+*)・・・(1+艄扳芮・①若①式成立，则由对数函数性质可判定：当日＞1时，S,、＞glog＜"卄1；当0V日V1时，£＜+】og,A+
9、i.下面用数学归纳法证明①式成立：a.当/?=1时，己验证①式成立.b.假设当n=k(&,&WN+)时①式成立,即(1+1)(1+扑・(1+着>皈盯那么，当刀=斤+1时，仃+D(i+#T+yd引3斤+1二3A+1(3W+2).3A+2—［句3斤+4「3W+23—3W+43A+13^+19A+43斤+12>0,.为3斤+1•3A+1(3斤+2)〉引3£+4=k~~1.因而(1+1)(1+£…(1+'3丄。)J+3/v4-J>勿3W+4=~k+i_.・••当n=k+Y时①式成立.rfl&,b知①式对任意正整数n都成立.由此证得：当$>1时，$>glog<0卄1；当
10、0<日<1
