2016_2017学年高中数学第4讲用数学归纳法证明不等式1数学归纳法学案新人教A版选修4

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1、一数学归纳法1学习目标导航1.了解数学归纳法的原理及其使用范围.（重点）2.会利用数学归纳法证明一些简单问题.（重点、难点）阶段1‘认知预习质疑（知识梳理要点初探）［基础・初探］教材整理数学归纳法的概念阅读教材円6〜跟，完成下列问题.-般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数久的所有正整数刀都成立吋，可以用以下两个步骤：（1）证明当〃=久时命题成立;（2）假设当n=k（kwN卜,且k^n^）时命题成立，证明刀=«+1时命题也成立.在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于灿的所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归

2、纳法.°微体验°数学归纳法证明中，在验证了/?=1时命题正确，假定n=k时命题正确，此时&的取值范围是（）A.AeNB.k>,AeN+C.kM,WWN+D.斤>2,斤WN+【解析】数学归纳法是证明关于正整数〃的命题的一种方法，所以£是正整数，又第一步是递推的基础，所以斤大于等于1.【答案】C［质疑・手记］预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑:介作探究通关［小组合作型］用数学归纳法证明:用数学归纳法证明等式1冷+卜扌+…+尙_痔=讦r+Tr*【精彩点拨】要证

3、等式的左边共2刀项，右边共刀项，与f(k+i)相比左边增二项，右边增一项，而且左、右两边的首项不同.因此，由an=r到“刀=&+1”时要注意项的合并.【自主解答】①当刀=1时，左边=1一£=*=击=右边，所以等式成立.②假设n=k(k2,AeN+)时等式成立，即1冷+卜扌+…+圧?—苏缶+£+•••+/则当n=k+{时，左边=1-尹…+2&一1-玉+2斤+厂2&+2=(k+l+k+2+…+£+2&+11~2k+2命+•••+/+為）+（击_品）=7+2+***+2k+2k+}+2k+2=右边'所以，n=k+1吋等式成

4、立.由①②知，等式对任意/?WN+成立.1.用数学归纳法证明等式的关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与/7的収值是否有关.由n=k到77=斤+1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项.2.利用数学归纳法证明代数恒等式吋要注意两点：一是要准确表述n=!^时命题的形式，二是要准确把握由n=k到刀=&+1时，命题结构的变化特点.并且一定要记住：在证明n=k+1成立时，必须使用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节.［再练一题］1.用数学归纳法证明：I用数学归纳法证明：(3刀+1)・厂

5、一1能被9整除5WN+).【精彩点拨】先验证刀=1时命题成立，然后再利用归纳假设证明，关键是找清fk+1)与fGO的关系并设法配凑.【自主解答】⑴当刀=1时，原式=(3Xl+l)X7—1=27,能被9整除，命题成立.⑵假设当门=k(kWN+,WM1)时，(弘+1)・7"—1能被9整除，则当n=k+时，[3(A4-1)+1]・7*+1-1=[21(&+1)+7]•7J=[(3A+l)+(18A+27)]・7*—1=[(3«+1)・7*一1]+9(2«+3)・7

6、9整除，・・・[(3£+1)・7"—1]+9(2£+3)・7“能被9整除，即[3U+D+1]・7^-1能被9整除,即当n=k+时命题成立.由(1)(2)可知,对任何/?WN+,命题都成立,即(3/?+1)•7"—1能被9整除(〃WN+)・名师—22+32—z12HF(2z?—I)'—(2/?)'=—刀(2/?+1).【证明】(1)当〃=1时，左边=12-2'=—3,右边=—IX(2X1+1)=—3,等式成立.(2)假设当门=kg1)时，等式成立，就是l2-22+32-4-+-+(2A-l)2-(2A)2=-A(2A+

7、l)・当n=k+时,12-22+32-42+-+(2A-1)2-(2A)2+(2A+1)2-(2^+2)2=一斤(2«+1)+(2斤+1)2—[2(«+1)]2=一斤(2«+1)—(4斤+3)=—(2F+5斤+3)=—(A+1)[2(Zr+1)+1],所以n=k+l时等式也成立，根据(1)和(2)可知，等式对任何/?WN+都成立.类型2用数学归纳法证明整除问题1•证明本题时关键是用归纳假设式子(3A+1)・7"—1表示n=k+时的式子.1.用数学归纳法证明整除问题关键是利用增项、减项、拆项、并项、因式分解等恒等变形

8、的方法去凑假设、凑结论，从而利用归纳假设使问题获证.一般地，证明一个与/?有关的式子代力能被一个数日(或一个代数式呂⑺)整除，主要是找到/u+i)与/U)的关系,设法找到式子/；(A),左(&),使得AA+1)=/U)•右⑷+左⑴.［再练一题］2.求证：/+(卄1尸+(卄2)'能被9整除.【导学号：32750064］【证明】(1)