2019_2020学年高中数学第4讲用数学归纳法证明不等式2用数学归纳法证明不等式举例学案新人教A版

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1、二　用数学归纳法证明不等式举例学习目标：1.会用数学归纳法证明简单的不等式．(重点)2.会用数学归纳法证明贝努利不等式，了解贝努利不等式的应用条件．(难点)教材整理　用数学归纳法证明不等式阅读教材P50～P53，完成下列问题．1．贝努利(Bernoulli)不等式如果x是实数，且x>－1，x≠0，n为大于1的自然数，那么有(1＋x)n>1＋nx.2．在运用数学归纳法证明不等式时，由n＝k成立，推导n＝k＋1成立时，常常要与其他方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法等结合进行．用数学归纳法证明“2n＞n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取(　　)A．2　　　　　　

2、B．3C．5D．6C　[n取1,2,3,4时不等式不成立，起始值为5.]数学归纳法证明不等式【例1】　已知Sn＝1＋＋＋…＋(n>1，n∈N＋)，求证：S2n>1＋(n≥2，n∈N＋)．[精彩点拨]　先求Sn再证明比较困难，可运用数学归纳法直接证明，注意Sn表示前n项的和(n>1)，首先验证n＝2；然后证明归纳递推．[自主解答]　(1)当n＝2时，S22＝1＋＋＋＝>1＋，即n＝2时命题成立．(2)假设n＝k(k≥2，k∈N＋)时命题成立，即S2k＝1＋＋＋…＋>1＋.当n＝k＋1时，S2k＋1＝1＋＋＋…＋＋＋…＋>1＋＋＋＋…＋>1＋＋＝1＋＋＝1＋.故当n＝k＋1时，命题也成立．由(1)

3、(2)知，对n∈N＋，n≥2，S2n>1＋都成立．此题容易犯两个错误，一是由n＝k到n＝k＋1项数变化弄错，认为的后一项为，实际上应为；二是＋＋…＋共有多少项之和，实际上2k＋1到2k＋1是自然数递增，项数为2k＋1－(2k＋1)＋1＝2k.1．若在本例中，条件变为“设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，由f(1)＝1>，f(3)>1，f(7)>，f(15)>2，…”.试问：f(2n－1)与大小关系如何？试猜想并加以证明．[解]　数列1,3,7,15，…，通项公式为an＝2n－1，数列，1，，2，…，通项公式为an＝，∴猜想：f(2n－1)>.下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，f(21－1)

4、＝f(1)＝1>，不等式成立．②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时不等式成立，即f(2k－1)>，当n＝k＋1时，f(2k＋1－1)＝f(2k－1)＋＋＋…＋＋>f(2k－1)＋＋…＋＝f(2k－1)＋>＋＝.∴当n＝k＋1时不等式也成立．据①②知对任何n∈N＋原不等式均成立．【例2】　证明：2n＋2>n2(n∈N＋)．[精彩点拨]　⇒⇒[自主解答]　(1)当n＝1时，左边＝21＋2＝4；右边＝1，左边>右边；当n＝2时，左＝22＋2＝6，右＝22＝4，所以左>右；当n＝3时，左＝23＋2＝10，右＝32＝9，所以左>右．因此当n＝1,2,3时，不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥3且k∈N＋

5、)时，不等式成立，即2k＋2＞k2(k∈N＋)．当n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2k2－2＝k2＋2k＋1＋k2－2k－3＝(k＋1)2＋(k＋1)(k－3)，∵k≥3，∴(k＋1)(k－3)≥0，∴(k＋1)2＋(k＋1)(k－3)≥(k＋1)2，所以2k＋1＋2>(k＋1)2.故当n＝k＋1时，原不等式也成立．根据(1)(2)知，原不等式对于任何n∈N＋都成立．1．本例中，针对目标k2＋2k＋1，由于k的取值范围(k≥1)太大，不便于缩小．因此，用增加奠基步骤(把验证n＝1扩大到验证n＝1,2,3)的方法，使假设中k的取值范围适当缩小到k≥3，促使放缩成功，

6、达到目标．2．利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由n＝k到n＝k＋1的变形．为满足题目的要求，常常要采用“放”与“缩”等手段，但是放缩要有度，这是一个难点，解决这个难题一是要仔细观察题目结构，二是要靠经验积累．2．用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式…＞均成立．[证明]　(1)当n＝2时，左边＝1＋＝；右边＝.∵左边＞右边，∴不等式成立；(2)假设n＝k(k≥2，且k∈N＋)时不等式成立，即…＞.则当n＝k＋1时，…＞·＝＝＞＝＝.∴当n＝k＋1时，不等式也成立．由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立.不等式中的探索、猜想、证明【例3】　若不等式＋＋＋…＋>对一

7、切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论．[精彩点拨]　先通过n取值计算，求出a的最大值，再用数学归纳法进行证明，证明时，根据不等式特征，在第二步，运用比差法较方便．[自主解答]　当n＝1时，＋＋>，则>，∴a<26.又a∈N＋，∴取a＝25.下面用数学归纳法证明＋＋…＋>.(1)n＝1时，已证．(2)假设当n＝k时(k≥1，k∈N＋)，＋＋…＋>，∴当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＋＋＝＋