2020版高考数学第8章平面解析几何第9节圆锥曲线中的定点、定值、范围、最值问题教学案理新人教版

《2020版高考数学第8章平面解析几何第9节圆锥曲线中的定点、定值、范围、最值问题教学案理新人教版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第九节　圆锥曲线中的定点、定值、范围、最值问题[考纲传真]　1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想．定点问题【例1】　已知椭圆E：＋＝1(b＞0)的一个焦点与抛物线Γ：y2＝2px(p＞0)的焦点F相同，如图，作直线AF与x轴垂直，与抛物线在第一象限交于A点，与椭圆E相交于C，D两点，且

2、CD

3、＝.(1)求抛物线Γ的标准方程；(2)设直线l不经过A点且与抛物线Γ相交于N，M两点，若直线AN，AM的斜率之积为1，证明l过定点．[解]　(1)由椭圆E：＋＝1(b＞0)，得b2＝9－c2，由题可知F(c,0)，p＝

4、2c，把x＝c代入椭圆E的方程，得y＝b2，∴yC＝.∴

5、CD

6、＝＝，解得c＝2.∴抛物线Γ的标准方程为y2＝4cx，即y2＝8x.(2)证明：由(1)得A(2,4)，设M，N，∴kMA＝＝，kNA＝，由kMA·kNA＝·＝1，得y1y2＋4(y1＋y2)－48＝0.(*)设直线l的方程为x＝my＋t，由得y2－8my－8t＝0，∴y1＋y2＝8m，y1y2＝－8t，代入(*)式得t＝4m－6，∴直线l的方程为x＝my＋4m－6＝m(y＋4)－6，∴直线l过定点(－6，－4)．[规律方法]　圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示

7、变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.过抛物线C：y2＝4x的焦点F且斜率为k的直线l交抛物线C于A，B两点，且

8、AB

9、＝8.(1)求l的方程；(2)若A关于x轴的对称点为D，求证：直线BD过定点，并求出该点的坐标．[解]　(1)易知点F的坐标为(1,0)，则直线l的方程为y＝k(x－1)，代入抛物线方程y2＝4x得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，由题意知k≠0，且Δ＝[－(2k2＋4)]2－4k2·k2＝16(k2＋1)＞0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋

10、x2＝，x1x2＝1，由抛物线的定义知

11、AB

12、＝x1＋x2＋2＝8，∴＝6，∴k2＝1，即k＝±1，∴直线l的方程为y＝±(x－1)．(2)由抛物线的对称性知，D点的坐标为(x1，－y1)，直线BD的斜率kBD＝＝＝，∴直线BD的方程为y＋y1＝(x－x1)，即(y2－y1)y＋y2y1－y＝4x－4x1，∵y＝4x1，y＝4x2，x1x2＝1，∴(y1y2)2＝16x1x2＝16，即y1y2＝－4(y1，y2异号)，∴直线BD的方程为4(x＋1)＋(y1－y2)y＝0，恒过点(－1,0)．定值问题【例2】　已知动圆P经过点N(1,0)，并且与圆M：(x＋1)2＋y2＝1

13、6相切．(1)求点P的轨迹C的方程；(2)设G(m,0)为轨迹C内的一个动点，过点G且斜率为k的直线l交轨迹C于A，B两点，当k为何值时，ω＝

14、GA

15、2＋

16、GB

17、2是与m无关的定值？并求出该定值．[解]　(1)由题意，设动圆P的半径为r，则

18、PM

19、＝4－r，

20、PN

21、＝r，可得

22、PM

23、＋

24、PN

25、＝4－r＋r＝4，∴点P的轨迹C是以M，N为焦点的椭圆，∴2a＝4,2c＝2，∴b＝＝，∴椭圆的方程为＋＝1.即点P的轨迹C的方程为＋＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知－2＜m＜2，直线l：y＝k(x－m)，由得(3＋4k2)x2－8k2mx＋4k2m2－12

26、＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝，∴y1＋y2＝k(x1－m)＋k(x2－m)＝k(x1＋x2)－2km＝－，y1y2＝k2(x1－m)(x2－m)＝k2x1x2－k2m(x1＋x2)＋k2m2＝，∴

27、GA

28、2＋

29、GB

30、2＝(x1－m)2＋y＋(x2－m)2＋y＝(x1＋x2)2－2x1x2－2m(x1＋x2)＋2m2＋(y1＋y2)2－2y1y2＝(k2＋1).要使ω＝

31、GA

32、2＋

33、GB

34、2的值与m无关，需使4k2－3＝0，解得k＝±，此时ω＝

35、GA

36、2＋

37、GB

38、2＝7.[规律方法]　圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数

39、式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l交椭圆于A，B两点，△ABF1的周长为8，且△AF1F2的面积的最大时，△AF1F2为正三角形．(1)求椭圆C的方程；(2)若MN是椭圆C经过原点的弦，MN∥AB，求证：为定值．[解]　(1)由已知A，B在椭圆上，可