2020版高考数学一轮复习第6章不等式、推理与证明第3节基本不等式教学案理新人教版

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1、第三节基本不等式[考纲传真]1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．1．基本不等式：≤(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数．2．两个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(2)ab≤2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．3．利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)．(2)如果和x＋y是定

2、值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．[常用结论]1.＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．2．ab≤2≤.3.≤≤≤(a＞0，b＞0)．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．()(2)函数y＝x＋的最小值是2.()(3)函数f(x)＝sinx＋，x∈(0，π)的最小值为4.()(4)x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．(教材改编)设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为()A

3、．80B．77C．81D．82C[∵x＞0，y＞0，∴≥，即xy≤2＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81.]3．若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于()A．2B．3C．4D．5C[由题意得＋＝1.又a＞0，b＞0，∴a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4.当且仅当＝，即a＝b＝2时等号成立，故选C.]4．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于()A．1＋B．1＋C．3D．4C[当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最

4、小值时，x＝3，即a＝3，选C.]5．(教材改编)若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__________m2.25[设矩形的一边为xm，矩形场地的面积为y，则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，则y＝x(10－x)≤2＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.]利用基本不等式求最值►考法1配凑法求最值【例1】(1)设0＜x＜2，则函数y＝的最大值为()A．2B.C.D.(2)若x＜，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________．(1)D(2)1[(1)∵0＜x＜2，∴4－2x＞0，∴x(4－2x)＝×2x(4－2

5、x)≤×2＝×4＝2.当且仅当2x＝4－2x，即x＝1时等号成立．即函数y＝的最大值为.(2)因为x＜，所以5－4x＞0，则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.]►考法2常数代换法求最值【例2】已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．[解](1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，又x>0，y>0，则1＝＋≥2＝，得xy≥64，当且仅当x＝4y，即x＝16，y＝4时等号成立．故xy的最小值为64.(2)法一：(消元法)由2x

6、＋8y－xy＝0，得x＝，因为x＞0，y＞0，所以y＞2，则x＋y＝y＋＝(y－2)＋＋10≥18，当且仅当y－2＝，即y＝6，x＝12时等号成立．故x＋y的最小值为18.法二：(常数代换法)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当y＝6，x＝12时等号成立，故x＋y的最小值为18.[规律方法](1)利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.(2)常数代换法主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求的最值”的问题，先将，再用基本不等式求最值.注意：应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一

7、正”“二定”“三相等”.(1)已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．(2)(2019·皖南八校联考)函数y＝loga(x＋4)－1(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线＋＝－1上，且m＞0，n＞0，则3m＋n的最小值为()A．13B．16C．11＋6D．28(1)6(2)B[(1)∵x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，∴9－(x＋3y)＝xy＝×x×3y≤×2，当且仅当x＝3y时，等号成立，由因为x＞0，y＞0，计算得出∴x＋3y的最小值为6.(2)函数y＝loga(x＋4)－1(a＞0，a≠1)的图象恒过A(－