高考数学一轮复习第6章不等式、推理与证明第2节基本不等式及其应用学案理北师大版

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1、第二节基本不等式及其应用[考纲传真](教师用书独具)1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．(对应学生用书第95页)[基础知识填充]a＋b1．基本不等式：ab≤2(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．a＋b(3)其中称为正数a，b的算术平均数，ab称为正数a，b的几何平均数，基本2不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．2．几个重要的不等式(注意逆应用)22(1)a＋b≥2ab(a，b∈R)，当且仅当

2、a＝b时取等号．a＋b2(2)ab≤2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．a＋b222a＋b(3)≥2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．2ba(4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．ab3．利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记：积定和最小)．2q(2)如果和x＋y是定值q那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最4大)．[知识拓展]222aba＋ba＋b1.≤ab≤≤(a＞0，b＞0)．a＋b2

3、22．不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)＞A在区间D上恒成立⇔f(x)min＞A；若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)＜B在区间D上恒成立⇔f(x)max＜B.(2)能成立问题：若f(x)在区间D上存在最大值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)＞A成立⇔f(x)max＞A；若f(x)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)＜B成立⇔f(x)min＜B.(3)恰成立问题：不等式f(x)＞A恰在区间D上成立⇔

4、f(x)＞A的解集为D；不等式f(x)＜B恰在区间D上成立⇔f(x)＜B的解集为D.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)22a＋b(1)两个不等式a＋b≥2ab与≥ab成立的条件是相同的．()22(2)(a＋b)≥4ab(a，b∈R)．()(3)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．()1(4)函数y＝x＋的最小值是2.()xπ40，(5)函数f(x)＝cosx＋，x∈2的最小值等于4.()cosxxy(6)x＞0且y＞0是＋≥2的充分不必要条件．()y

5、x[答案](1)×(2)√(3)√(4)×(5)×(6)√2．(教材改编)设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为()A．80B．77C．81D．82x＋y2x＋yC[∵x＞0，y＞0，∴≥xy，即xy≤2＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max2＝81.]13．已知f(x)＝x＋－2(x＜0)，则f(x)有()xA．最大值0B．最小值0C．最大值－4D．最小值－41(－x)＋1C[∵x＜0，∴f(x)＝－(－x)－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即x－x＝－1时取等号．∴f(x)有最大

6、值－4.]14．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于()x－2A．1＋2B．1＋3C．3D．411C[当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2(x－2)×＋2＝4，当且仅x－2x－21当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3，选x－2C.]25．若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__________m.25[设矩形的一边为xm，矩形场地的面积为y，1则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，2x＋(

7、10－x)2则y＝x(10－x)≤2＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.](对应学生用书第95页)利用基本不等式求最值(1)已知a＞0，b＞0，且4a＋b＝1，则ab的最大值为________．51(2)已知x＜，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________．44x－5(3)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值为________.【导学号：79140194】1(1)(2)1(3)5[(1)法一：∵a＞0，b＞0,4a＋b＝1，∴1＝4a＋b≥24ab＝164ab

8、，111当且仅当4a＝b＝，即a＝，b＝时，等号成立．282111∴ab≤，∴ab≤.∴ab的最大值为.41616法二：∵4a＋b＝1，4a＋b2111∴ab＝·4a·b≤2＝，4416111当且仅当4a＝b＝，即a＝，b＝(满足a＞0，b＞0)时，等号成立，∴ab的最大值为2821.165(2)因为x＜，所以5－4x＞0，4115－4x＋则f(x)＝4x－2＋＝－5－4x＋34x－51≤－2(5－4x)·＋3＝－2＋3＝1.