高考数学一轮复习第7章不等式、推理与证明第2节基本不等式教学案理北师大版.docx

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1、第二节　基本不等式[最新考纲]　1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．1．基本不等式：≤(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数．2．两个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(2)ab≤2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．3．利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)．(2)如

2、果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．1．＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．2．ab≤2≤.3．≤≤≤(a＞0，b＞0)．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．(　　)(2)若a>0，则a3＋的最小值为2.(　　)(3)函数f(x)＝sinx＋，x∈(0，π)的最小值为4.(　　)(4)x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件．(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×二、教材改编1．设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为

3、(　　)A．80　　　　　　B．77C．81D．82C　[xy≤2＝81，当且仅当x＝y＝9时，等号成立．故选C.]2．若x<0，则x＋(　　)A．有最小值，且最小值为2B．有最大值，且最大值为2C．有最小值，且最小值为－2D．有最大值，且最大值为－2D　[因为x<0，所以－x>0，－x＋≥2＝2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋≤－2.]3．函数f(x)＝x＋(x>2)的最小值为________．4　[当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号．]4．若把总长为20m的篱笆围成一个矩

4、形场地，则矩形场地的最大面积是__________m2.25　[设矩形的一边为xm，矩形场地的面积为y，则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，则y＝x(10－x)≤2＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.]考点1　利用基本不等式求最值　配凑法求最值　配凑法的实质是代数式的灵活变形，即将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项、凑系数等方法凑成“和为定值”或“积为定值”的形式(如：凑成x＋(a＞0)，＋的形式等)，然后利用基本不等式求解最值的方法.　(1)(2019·大连模拟)已知a，b是正数，且4a＋3b＝6，则a(a＋3b)的

5、最大值是(　　)A．　　　　B．C．3D．9(2)函数y＝(x>1)的最小值为________．(3)已知x>，则y＝4x＋的最小值为________，此时x＝________.(1)C　(2)2＋2　(3)7　　[(1)∵a>0，b>0,4a＋3b＝6，∴a(a＋3b)＝·3a(a＋3b)≤2＝×2＝3，当且仅当3a＝a＋3b，即a＝1，b＝时，a(a＋3b)的最大值是3.(2)∵x>1，∴x－1>0，∴y＝＝＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2.当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立．(3)∵x>，∴4x－5>0.y＝4x＋＝4x－5＋＋5≥2＋5＝7.当且

6、仅当4x－5＝，即x＝时上式“＝”成立．即x＝时，ymin＝7.][母题探究]　把本例(3)中的条件“x>”，改为“x<”，则y＝4x＋的最大值为________，此时x＝________.3　1　[因为x<，所以5－4x>0，则y＝4x＋＝－＋5≤－2＋5＝－2＋5＝3.当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．故y＝4x＋的最大值为3.此时x＝1.]　(1)本例(1)解答易忽视两项和为定值的条件，常见的错误解法为：a(a＋3b)≤2，当且仅当a＝a＋3b，且4a＋3b＝6，即a＝，b＝0时，a(a＋3b)的最大值为，从而错选B.(2)应用拆项、添项法求

7、最值时，应注意检验基本不等式的前提条件：“一正、二定、三相等”，如T(1)，T(2)．　常数代换法求最值　常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)．(2)把确定的定值(常数)变形为1.(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式．(4)利用基本不等式求解最值．　已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则＋的最小值为________．4　[因为a＋b＝1，所以＋＝(a＋b)＝2＋≥2＋2＝2＋2＝4.当且仅当a＝b时，等号成立．][母题探究]1．若本例条件不变，求的最小值．[解]　＝＝·＝5＋2≥5＋4＝9.当且仅

8、当a＝b＝时，等号成立．2．若将本例条件改为a＋2b＝3，如何求解