2015届高考数学总复习（基础过关+能力训练）：平面解析几何　直线与圆锥曲线的综合应用(2)（含答案）

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1、第九章　平面解析几何第11课时　直线与圆锥曲线的综合应用[2]1.以椭圆＋＝1的焦点为顶点、顶点为焦点的双曲线方程为____________．答案：x2－＝1解析：椭圆＋＝1的焦点为[±1，0]，顶点为[±2，0]，则双曲线中a＝1，c＝2，b＝＝，所以所求双曲线方程为x2－＝1.2.已知双曲线－＝1[a＞0，b＞0]的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的方程为____________．答案：－＝1解析：由题意知，双曲线的一个焦点为[4，0]，即a2＋b2＝16.又双曲线－＝1[a＞0，b＞0]的一条渐近线方程是y＝x，所以

2、有＝，即b＝a，可解得a2＝4，b2＝12，故双曲线的方程为－＝1.3.顶点在原点且以双曲线－y2＝1的右准线为准线的抛物线方程是____________．答案：y2＝－6x解析：由题可得，双曲线－y2＝1的右准线方程为x＝，则所求抛物线是顶点在原点、开口向左的抛物线且＝，即p＝3，所以所求抛物线方程为y2＝－6x.4.双曲线x2－＝1的渐近线与圆x2＋[y－4]2＝r2[r＞0]相切，则r＝________．答案：2解析：渐近线的方程为x±y＝0，圆心[0，4]到渐近线的距离等于r，则r＝＝2.5.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，它的长轴长等于圆C：x2＋y2－

3、2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是____________．答案：＋＝1解析：圆C：[x－1]2＋y2＝16，∴2a＝4，即a＝2.∵e＝＝.∴c＝1，∴b2＝a2－c2＝4－1＝3.∴椭圆方程为＋＝1.6.已知椭圆C：＋y2＝1的两焦点为F1，F2，点P[x0，y0]满足＋y≤1，则PF1＋PF2的取值范围为________．答案：[2，2]解析：当P在原点处时，PF1＋PF2取得最小值2；当P在椭圆上时，PF1＋PF2取得最大值2，故PF1＋PF2的取值范围为[2，2]．7.直线l：x－y＝0与椭圆＋y2＝1相交于A、B两点，点C是椭圆上的动点，则△ABC

4、面积的最大值为________．答案：解析：由得3x2＝2，∴x＝±，∴A，B，∴AB＝.设点C[cosθ，sinθ]，则点C到AB的距离d＝＝·

5、sin[θ－φ]

6、≤，∴S△ABC＝AB·d≤××＝.8.若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点[m，n]的直线与椭圆＋＝1的交点个数为________个．答案：2解析：由题意得＞2，即m2＋n2＜4，则点[m，n]在以原点为圆心，以2为半径的圆内，此圆在椭圆＋＝1的内部．9.已知椭圆的一个顶点为A[0，－1]，焦点在x轴上，其右焦点到直线x－y＋2＝0的距离为3.[1]求椭圆的方程；[2]直线y＝x

7、＋1与椭圆交于P、N两点，求

8、PN

9、.解：[1]设椭圆方程为＋＝1[a>b>0]，右焦点F为[c，0]，则＝3，解得c＝.又b＝1，∴a＝.∴椭圆方程为＋y2＝1.[2]设直线与椭圆的交点为P[x1，y1]、N[x2，y2]，则解方程组得或∴直线与椭圆的交点为P[0，1]、N[－，0]，∴

10、PN

11、＝＝2.10.已知圆C的圆心为C[m，0]，m＜3，半径为，圆C与离心率e＞的椭圆E：＋＝1[a＞b＞0]的其中一个公共点为A[3，1]，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点．[1]求圆C的标准方程；[2]若点P的坐标为[4，4]，试探究直线PF1与圆C能否相切？若能，设直线P

12、F1与椭圆E相交于D、B两点，求△DBF2的面积；若不能，请说明理由．解：[1]由已知可设圆C的方程为[x－m]2＋y2＝5[m＜3]，将点A的坐标代入圆C的方程中，得[3－m]2＋1＝5，即[3－m]2＝4，解得m＝1，或m＝5.∴m＜3，∴m＝1.∴圆C的标准方程为[x－1]2＋y2＝5.[2]直线PF1能与圆C相切，依题意设直线PF1的斜率为k，则直线PF1的方程为y＝k[x－4]＋4，即kx－y－4k＋4＝0，若直线PF1与圆C相切，则＝.∴4k2－24k＋11＝0，解得k＝或k＝.当k＝时，直线PF1与x轴的交点的横坐标为，不合题意，舍去．当k＝时，直线P

13、F1与x轴的交点的横坐标为－4，∴c＝4，F1[－4，0]，F2[4，0]．∴由椭圆的定义得：2a＝AF1＋AF2＝＋＝5＋＝6.∴a＝3，即a2＝18，∴e＝＝＞，满足题意．故直线PF1能与圆C相切．直线PF1的方程为x－2y＋4＝0，椭圆E的方程为＋＝1.设B[x1，y1]，D[x2，y2]，把直线PF1的方程代入椭圆E的方程并化简得，13y2－16y－2＝0，由根与系数的关系得y1＋y2＝，y1y2＝－，故S△DBF2＝4

14、y1－y2

15、＝4＝.11.如图，已知椭圆C：＋＝1[a＞b＞0]的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：[x＋2]2＋y2＝r2[