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《高考数学一轮复习课时作业47空间几何体的结构特征及三视图与直观图理（含解析）新人教版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、课时作业47 立体几何中的向量方法第一次作业 基础巩固练1．(2018·全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值．解：(1)证明：由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF.又BF⊂平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.(2)作PH⊥EF，垂足为H.由(1)得，PH⊥平面ABFD.以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，
2、
3、为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz.由(1)可得，DE⊥PE.又D
4、P＝2，DE＝1，所以PE＝.又PF＝1，EF＝2，故PE⊥PF.可得PH＝，EH＝.则H(0,0,0)，P(0,0，)，D(－1，－，0)，＝(1，，)，＝(0,0，)为平面ABFD的法向量．设DP与平面ABFD所成角为θ，则sinθ＝＝＝.所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.2．(2019·辽宁五校联考)如图，在四棱锥EABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中CD∥AB，BC⊥AB，侧面ABE⊥平面ABCD，且AB＝AE＝BE＝2BC＝2CD＝2，动点F在棱AE上，且EF＝λFA.(1)试探究λ的值，使CE∥平面BDF，并给予证明；(2)当λ＝1时，求直线CE与平面BDF所成角
5、的正弦值．解：(1)当λ＝时，CE∥平面BDF.证明如下：连接AC交BD于点G，连接GF，∵CD∥AB，AB＝2CD，∴＝＝，∵EF＝FA，∴＝＝，∴GF∥CE，又CE⊄平面BDF，GF⊂平面BDF，∴CE∥平面BDF.(2)取AB的中点O，连接EO，则EO⊥AB，∵平面ABE⊥平面ABCD，平面ABE∩平面ABCD＝AB，且EO⊥AB，∴EO⊥平面ABCD，连接DO，∵BO∥CD，且BO＝CD＝1，∴四边形BODC为平行四边形，∴BC∥DO，又BC⊥AB，∴AB⊥OD，则OD，OA，OE两两垂直，以OD，OA，OE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则O(0,0,
6、0)，A(0,1,0)，B(0，－1,0)，D(1,0,0)，C(1，－1,0)，E(0,0，)．当λ＝1时，有＝，∴F(0，，)，∴＝(1,1,0)，＝(－1,1，)，＝(0，，)．设平面BDF的法向量为n＝(x，y，z)，则有即令z＝，得y＝－1，x＝1，则n＝(1，－1，)为平面BDF的一个法向量，设直线CE与平面BDF所成的角为θ，则sinθ＝
7、cos〈，n〉
8、＝，故直线CE与平面BDF所成角的正弦值为.3．(2019·南昌摸底调研)如图，在四棱锥PABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝1.设M，N分别为PD，A
9、D的中点．(1)求证：平面CMN∥平面PAB；(2)求二面角NPCA的平面角的余弦值．解：(1)证明：∵M，N分别为PD，AD的中点，∴MN∥PA.又MN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，∴MN∥平面PAB.在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，∴∠ACN＝60°.又∠BAC＝60°，∴CN∥AB.∵CN⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴CN∥平面PAB.又CN∩MN＝N，∴平面CMN∥平面PAB.(2)∵PA⊥平面ABCD，∴平面PAC⊥平面ACD，又DC⊥AC，平面PAC∩平面ACD＝AC，∴DC⊥平面PAC.如图，以点A为原点，AC所在直线为x轴，AP所在直线为z轴建立空
10、间直角坐标系，∴A(0,0,0)，C(2,0,0)，P(0,0,2)，D(2，2，0)，N(1，，0)，∴＝(－1，，0)，＝(1，，－2)，设n＝(x，y，z)是平面PCN的法向量，则即可取n＝(，1，)又平面PAC的一个法向量为＝(0，2，0)，∴cos〈，n〉＝＝＝，由图可知，二面角NPCA的平面角为锐角，∴二面角NPCA的平面角的余弦值为.4．(2019·昆明调研测试)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ADC＝90°，AB∥CD，AB＝2CD.平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，点E在PC上，DE⊥平面PAC.(1)证明：PA⊥平面PCD；(2)设AD＝2
11、，若平面PBC与平面PAD所成的二面角为45°，求DE的长．解：(1)证明：由DE⊥平面PAC，得DE⊥PA，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PA，又CD∩DE＝D，所以PA⊥平面PCD.(2)取AD的中点O，连接PO，因为PA＝PD，所以PO⊥AD，则PO⊥平面ABCD，以O为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz，如图．由(1)得PA⊥PD，由AD＝2得PA＝PD＝，OP＝
