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《2020版高考数学人教版理科一轮复习课时作业:47 空间几何体的结构特征及三视图与直观图 Word版含解析.pdf》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、课时作业47立体几何中的向量方法第一次作业基础巩固练1.(2018·全国卷Ⅰ)如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把△DFC折起,使点C到达点P的位置,且PF⊥BF.(1)证明:平面PEF⊥平面ABFD;(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.解:(1)证明:由已知可得,BF⊥PF,BF⊥EF,所以BF⊥平面PEF.又BF平面ABFD,所以平面PEF⊥平面ABFD.(2)作PH⊥EF,垂足为H.由(1)得,PH⊥平面ABFD.以H为坐标→→原点,HF的方向为y轴正方向,
2、BF
3、为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz.由(1)可得,
4、DE⊥PE.又DP=2,DE=1,所以PE=3.又PF=1,EF=2,故PE⊥PF.33可得PH=,EH=.22→→3333则H(0,0,0),P(0,0,),D(-1,-,0),DP=(1,,),HP22223=(0,0,)为平面ABFD的法向量.2设DP与平面ABFD所成角为θ,则→→3
5、HP·DP
6、43sinθ===.→→34
7、HP
8、
9、DP
10、3所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.42.(2019·辽宁五校联考)如图,在四棱锥E-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,其中CD∥AB,BC⊥AB,侧面ABE⊥平面ABCD,且AB=AE=BE=2BC=2CD=2,动点F在棱A
11、E上,且EF=λFA.(1)试探究λ的值,使CE∥平面BDF,并给予证明;(2)当λ=1时,求直线CE与平面BDF所成角的正弦值.1解:(1)当λ=时,CE∥平面BDF.2证明如下:连接AC交BD于点G,连接GF,∵CD∥AB,AB=2CD,CGCD1∴==,GAAB21EFCG1∵EF=FA,∴==,2FAGA2∴GF∥CE,又CE⊄平面BDF,GF⊂平面BDF,∴CE∥平面BDF.(2)取AB的中点O,连接EO,则EO⊥AB,∵平面ABE⊥平面ABCD,平面ABE∩平面ABCD=AB,且EO⊥AB,∴EO⊥平面ABCD,连接DO,∵BO∥CD,且BO=CD=1,∴四边形BO
12、DC为平行四边形,∴BC∥DO,又BC⊥AB,∴AB⊥OD,则OD,OA,OE两两垂直,以OD,OA,OE所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系O-xyz,则O(0,0,0),A(0,1,0),B(0,-1,0),D(1,0,0),C(1,-1,0),E(0,0,3).→→13当λ=1时,有EF=FA,∴F(0,,),22→→→33∴BD=(1,1,0),CE=(-1,1,3),BF=(0,,).22设平面BDF的法向量为n=(x,y,z),→x+y=0,n·BD=0,则有即33→y+z=0,n·BF=0,22令z=3,得y=-1,x=1,则n=(1,-
13、1,3)为平面BDF的一个法向量,设直线CE与平面BDF所成的角为θ,→1则sinθ=
14、cos〈CE,n〉
15、=,51故直线CE与平面BDF所成角的正弦值为.53.(2019·南昌摸底调研)如图,在四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,PA=2,AB=1.设M,N分别为PD,AD的中点.(1)求证:平面CMN∥平面PAB;(2)求二面角N-PC-A的平面角的余弦值.解:(1)证明:∵M,N分别为PD,AD的中点,∴MN∥PA.又MN⊄平面PAB,PA⊂平面PAB,∴MN∥平面PAB.在Rt△ACD中,∠CAD=60°,C
16、N=AN,∴∠ACN=60°.又∠BAC=60°,∴CN∥AB.∵CN⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,∴CN∥平面PAB.又CN∩MN=N,∴平面CMN∥平面PAB.(2)∵PA⊥平面ABCD,∴平面PAC⊥平面ACD,又DC⊥AC,平面PAC∩平面ACD=AC,∴DC⊥平面PAC.如图,以点A为原点,AC所在直线为x轴,AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系,∴A(0,0,0),C(2,0,0),P(0,0,2),D(2,23,0),N(1,3,0),→→∴CN=(-1,3,0),PN=(1,3,-2),设n=(x,y,z)是平面PCN的法向量,→n·CN=0,-x+3
17、y=0,则即可取n=(3,1,3)→x+3y-2z=0,n·PN=0,→→又平面PAC的一个法向量为CD=(0,23,0),∴cos〈CD,n〉→CD·n237===,→23×77
18、CD
19、
20、n
21、由图可知,二面角N-PC-A的平面角为锐角,7∴二面角N-PC-A的平面角的余弦值为.74.(2019·昆明调研测试)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠ADC=90°,AB∥CD,AB=2CD.平面PAD⊥平面ABCD,PA=PD,点E在PC上,DE⊥平面PAC.(1