高考数学第2章函数、导数及其应用第2节函数的单调性与最值教学案（含解析）

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1、第二节　函数的单调性与最值[考纲传真]　1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质．(对应学生用书第11页)1．增函数、减函数增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2.单调性、单调区间的定义若函数y＝f(x)在区间D上是增

2、函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．3．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M是y＝f(x)的最大值M是y＝f(x)的最小值函数单调性的常用结论(1)对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，＞0⇔f(x)在D上是增函数，＜0⇔f(x)在D上是减函数．(2)对勾函数y＝x＋(a＞0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减

3、区间为[－，0)和(0，]．(3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，x1≠x2且(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在区间D上是增函数．()(2)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．()(3)函数y＝

4、x

5、是R上的增函数．()(4)函数y＝x2－2x在区间

6、[3，＋∞)上是增函数，则函数y＝x2－2x的单调递增区间为[3，＋∞)．()[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×2．(教材改编)如图是函数y＝f(x)，x∈[－4,3]上的图象，则下列说法正确的是()A．f(x)在[－4，－1]上是减函数，在[－1,3]上是增函数B．f(x)在区间(－1,3)上的最大值为3，最小值为－2C．f(x)在[－4,1]上有最小值－2，有最大值3D．当直线y＝t与y＝f(x)的图象有三个交点时－1＜t＜2C　[由图象知，函数f(x)在[－4,1]上有最小值－2，最大值3，故选C.]3．(教材改编)已知函数f(x)＝

7、，x∈[2,6]，则f(x)的最大值为________，最小值为________．2　　[可判断函数f(x)＝在[2,6]上为减函数，所以f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝.]4．函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________．　[由题意知2k＋1＜0，得k＜－.]5．f(x)＝x2－2x，x∈[－2,3]的单调增区间为________，f(x)max＝________.[1,3]　8　[f(x)＝(x－1)2－1，故f(x)的单调增区间为[1,3]，f(x)max＝f(－2)＝8.](对应学生用书第12

8、页)确定函数的单调性(区间)【例1】　(1)(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()A．(－∞，－2)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)D　[由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.设t＝x2－2x－8，则y＝lnt在t∈(0，＋∞)上为增函数．欲求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间．∵函数t＝x2－2x－8的单调递增区间为(4，＋∞)，∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．故选D.](2)试讨论函数f(x)＝x＋(k＞0)的单调性．[解]　法一：由解析式可知，

9、函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取x1，x2，令0＜x1＜x2，那么f(x2)－f(x1)＝－＝(x2－x1)＋k＝(x2－x1)·.因为0＜x1＜x2，所以x2－x1＞0，x1x2＞0.故当x1，x2∈(，＋∞)时，f(x1)＜f(x2)，即函数在(，＋∞)上单调递增．当x1，x2∈(0，)时，f(x1)＞f(x2)，即函数在(0，)上单调递减．考虑到函数f(x)＝x＋(k＞0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(－∞，－)上单调递增，在(－，0)上单调递减．综上，函数f(x)在(－∞，－)和(，＋∞)上

10、单调递增，在(－，0)和(0，)上单调递减．法二：f′(x)＝1－.令f′(x)