高中数学第三章3.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点学案（含解析）新人教A版

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1、§3.1　函数与方程3.1.1　方程的根与函数的零点学习目标　1.了解函数的零点、方程的根与图象交点三者之间的联系.2.会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间.3.能借助函数单调性及图象判断零点个数．知识点一　函数的零点的概念思考　函数的“零点”是一个点吗？答案　不是，函数的“零点”是一个数，一个使f(x)＝0的实数x.实际上是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．梳理　对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．方程、函数、图象之间的关系：方程f

2、(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．知识点二　零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．1．f(x)＝x2的零点是0.(　√　)2．若f(a)·f(b)>0，则f(x)在[a，b]内无零点．(　×　)3．若f(x)在[a，b]上为单调函数，且f(a)·f(b)<0，

3、则f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．(　√　)4．若f(x)在(a，b)内有且只有一个零点，则f(a)·f(b)<0.(　×　)类型一　求函数的零点例1　函数f(x)＝(lgx)2－lgx的零点为________．考点　函数零点的概念题点　求函数的零点答案　x＝1或x＝10解析　由(lgx)2－lgx＝0，得lgx(lgx－1)＝0，∴lgx＝0或lgx＝1，∴x＝1或x＝10.反思与感悟　函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，

4、所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标．跟踪训练1　函数f(x)＝(x2－1)(x＋2)2(x2－2x－3)的零点个数是________．考点　函数零点的概念题点　求函数的零点答案　4解析　f(x)＝(x＋1)(x－1)(x＋2)2(x－3)(x＋1)＝(x＋1)2(x－1)(x＋2)2(x－3)．可知零点为±1，－2,3，共4个．类型二　判断函数的零点所在的区间例2　根据表格中的数据，可以断定方程ex－(x＋2)＝0(e≈2.72)的一个根所

5、在的区间是(　　)x－10123ex0.3712.727.4020.12x＋212345A.(－1,0)B．(0,1)C．(1,2)D．(2,3)考点　函数零点存在性定理题点　判断函数零点所在的区间答案　C解析　令f(x)＝ex－(x＋2)，则f(－1)＝0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，f(1)＝2.72－3<0，f(2)＝7.40－4＝3.40>0.由于f(1)·f(2)<0，∴方程ex－(x＋2)＝0的一个根在(1,2)内．反思与感悟　在函数图象连续的前提下，f(a)·f(b)＜0，

6、能判断在区间(a，b)内有零点，但不一定只有一个；而f(a)·f(b)＞0，却不能判断在区间(a，b)内无零点．跟踪训练2　若函数f(x)＝3x－7＋lnx的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________.考点　函数零点存在性定理题点　判断函数零点所在区间答案　2解析　∵函数f(x)＝3x－7＋lnx在定义域上是增函数，∴函数f(x)＝3x－7＋lnx在区间(n，n＋1)上只有一个零点．∵f(1)＝3－7＋ln1＝－4<0，f(2)＝6－7＋ln2<0，f(3)＝9－7＋ln3>

7、0，∴函数f(x)＝3x－7＋lnx的零点位于区间(2,3)内，∴n＝2.类型三　函数零点个数问题命题角度1　判断函数零点个数例3　求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．考点　函数的零点与方程根的关系题点　判断函数零点的个数解　方法一　∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋lg2－2>0，∴f(x)在(0,1)上必定存在零点．又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数．故函数f(x)有且只有一个零点．方法二　在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g

8、(x)＝lg(x＋1)的草图．由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．反思与感悟　判断函数零点个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助函数的单调性判断零点的个数．(2)利用函数图象交点的个数判定函数零点的个数．跟踪训练3　求函数f(x)＝lnx＋2x－6零点的个数．考点　函数的零点与方程根的关系题点　判断函数零点的个数解　方法一　由于f(2)＝ln2＋4－6<0，f(