矩阵函数论文

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1、唐山师范学院本科毕业论文题目矩阵函数与函数矩阵的性质及应用学生郑春明指导教师王朝霞教授年级2011级数本1班专业数学与应用数学系另IJ数学与信息科学系唐山师范学院数学与信息科学糸2015年4月郑重声明本人的毕业论文（设计）是在指导教师王朝霞的指导下独立撰写完成的。如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为，本人愿意承担由此产生的各种后果，臣至法律责任，并愿意通过网络接受公众的监督•特此郑重声明。毕业论文（设计）作者（签名）:标题1中文摘要11矩阵幕级数及矩阵函数12矩阵函数的计算方法83函数矩阵

2、及其微积分144矩阵函数与函数矩阵在微分方程中的应用165结束语24参考文献25致谢26外文页27矩阵函数与函数矩阵的性质与应用郑春明摘要矩阵函数与函数矩阵把矩阵理论延伸到分析领域，从而使矩阵的研究又提高到一个新的层次.本文以高等代数中的矩阵知识为基础，引入分析学中的积分，收敛等内容，大大拓宽了矩阵的应用范围.论文将先通过矩阵幕级数收敛性的探讨来给出函数矩阵的定义；接着研究矩阵函数的多种计算方法，函数矩阵一些简单的微积分运算；最后，着重讨论矩阵函数与函数矩阵在微分方程中的应用.关键词矩阵函数函数矩阵矩阵幕级数

3、的收敛性矩阵函数的计算微分方程在《高等代数》教材屮，只讨论矩阵的加减法、乘法和求逆为核心的内容，对函数矩阵与矩阵函数了解述非常少（仅有兄-矩阵这一章），但这一章并没有进一步研究矩阵的其他运算和性质诸如级数,收敛性，微积分等•而这些运算和性质又是十分必要的，尤其是在解微分方程和解矩阵方程中是必不可少的.因此，这就促使笔者探讨矩阵函数与函数矩阵的定义，性质及一些重要的应用。1、矩阵幕级数及矩阵函数1.K谱半径定义1设矩阵AeCHXn的全部特征值为人,入,…,人，则称卩⑷=max

4、/tz

5、为A的谱半径.定理1设矩阵

6、AgCnxn,则p（Ak）=[p（A^.证明设A的全部特征值为…人,则屮的全部特征值为蹲用，…丄所以，我们得到)=max=(max1.2.矩阵幕级数及其收敛性定义2设｛心定严〃是一个矩阵序列，如果矩阵心=（石）,呦中的元素町构成的序列b讣当R趋于无穷吋都是收敛的，那么，我们称矩阵序列｛心｝是收敛的.且有limAA=（lim^）.即：kTg“T8j7nxn…此、'lima：］RTSlim哺kF12…！im此）若4=k…°：,,那么limA=limlima；&T8•…！im此&T8■22kTg2•■•■■•••

7、••kFK■••■•••••4...aknn/pma爲…lim爲kT8nn丿设AeCnXf,,是复数域上的一个数，其中R=0,1,2…，称OO+++++…为矩阵A的幕级数，记为工C/*,k=（）oo即C/.A—Cqf4~（?

8、A+A~+•…+c&A«4~•••.jt=O和分析中幕级数的和及部分和的定义相类似，对于矩阵我们同样定义：定义3矩阵幕级数屮的前n项和：S”=^ckAk称为此矩阵慕级数的部分和，若矩阵慕k=0k=0级数出的部分和构成的矩阵序列｛S“｝收敛，则称屮收敛;并且有出=limS/z.否则,A=0

9、k=Qk=0"T°°我们称它是发散的.8定理2设幕级数^ckxk的收敛半径为r,°（人）是A的谱半径，贝I」：k=0oo（1）若p（A）vr,矩阵幕级数工“4"收敛且绝对收敛,k=08（2）若p（A）＞i矩阵幕级数工“屮是发散的.R=0设矩阵A的Jordan标准分解为A二P1，那么，Ak=PJ2那么,k=0k=()8而矩阵幕级数^ckAk的前n项和s”为心0因此，S”是收敛的当且仅当每个工ckJ:都收敛,*=0£皿=k=0k=0Ek=00(k

10、■■•■■—••.1入丿8又我们可以把2*:写成如下形式：心():k=0工也矿…:k=0•••:k=0•••£cC片k=0，由此可知工严B0右.k=p、P1、A01■■■■■+••••••••1其中■&丿1<0>k=0)1,2,…,s记为J,=Er+Ur,其中11ririp1>01u=••・1则二项式定理可得所以我们有£“c：皆k=0&=斥一］k=0以C岔山1Jt=O00若p(A)v尸时，即A的所有特征值A.

11、2严,…，£c/(£j"(k—，；+l)Er也都是绝对k=k=ik=l敛的，从而乞c&茁2,矿呻也都是绝对收敛的.因此P(A)r,即存在某个特征值

12、/Lj>r,这将导致工“秽发散，所以心討：发散，因此矩k=0k=0阵幕级数fqA*发散.k=()例1讨论矩阵幕级数£A*二E+A+