空间向量在立体几何中的简单运用

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1、空间向量在立体几何中的应用（一）——线线、线面、面面的位置关系1•两直线平行与垂直.设直线l.tn的方向向量分别为厅=（4卫2皿3），B=（勺上2厶）/llmoaliba=Ab<^>a{=Zbx.a2=2Z?2,a3=2Z?3(2eR)/丄ma丄boqb]+a2b2+a3b3=02.直线与平面平行与垂直设直线I的方向向量为a=（apa2,a3）,平面a的法向量为u=（勺厶厶）IIIao7丄力oa}b}+a2h2+a3b.=0/丄aoN//力oN=2帀u>at=Ab},a2=Ab2、=Ab.（Ag/?）3.平面与平面平行与垂直设平面d,0的法向量分

2、别为历=（冏,偽，偽），V=®9b2,b.）Z£±76Z///?<=>w//v<=>^Abod]=Qb[,a2=Ab2,a3=Zb3(2g/?)a丄0o帀丄Eo坷勺+a2b2+a彳匕=04.求平而法向量的一般步骤：⑴找出（求出）平面内的两个不共线的向量的朋标N=（0],勺,C[）,卩=（勺,$,C2）（2）设出平面的一个法向量为n=（x,y,Z）（3）根据法向量的定义建立关于X,）忆的方程纟R。Jn5=0[nb=0（4）解方程组,取其中的一组解,即得法向量。2.已知正方体ABCD-A[B[C[D[的棱长为2,E、F、G分别是3竹、DD「DC的中点

3、，求证:(1)平面ADE〃平面B[C]F；(2)平面ADE丄平面A.D.G；(3)在4E上求一点M,使得州M丄平UJDAE.点评：平行珂磨的转化：转化面面平行线面平行线线平行;空间向量在立体几何中的应用（二）——利用空间向量求空间角1.两条异面直线所成的角TT①范围：（0,—]2②向量求法：设直线爼、b的夹角为（），方向向量为0,5,其夹角为a,则有cos&=lcosa1=丨打IaAbjr注：求出两向量的夹角可能是饨角或直角或锐角，因异面直线所成的角的范围是0,—,故2.加绝对值，便可直接求得所要求的角。2.直线与平而所成的介①定义：直线

4、与平面所成的角，是指直线与它在这个平面内的射影所成的角。jr②范围:[0,-]2③向量求法:设直线Z的方向向量为平面的法向量为历,直线与平面所成的角为&,矗与帀的夹角为0,则有sin0=1cos（p1=aUci\u3.二面角①范围:[0,^]②二面角的向量求法：方法一：如图，若AB、CD分別是二面角Q-/-0的两个面内与棱/垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB与CD的夹角.方法二:设力,0是二面角aB的两个面«,3的法向量，则向量历与V的夹角（或其补角就是二血角的平血角的人小.如图，设二血角的平而角的人小为。，法向量的夹角为0.COS

5、&=COS0=u\vcos0=cos（zr一0）=—cos（p-I力1101注意:在用向量求二面角的大小时，我们是先求出两半平面的法向量所在直线的夹角0,但二面角可能是钝角或锐角，因此在求出0角后，应判断二面角的人小，再确定二面角就是两半平面的法向最所在直线的夹角0或是英补角。典型例题：3•如图，底hiABCD为直角梯形，ZABC=90°,PE丄nnABCD,BA=BC=BP=2CD=2,E为PD的中点，求1)异面直线BD与P4所成角的余弦值；2)直线CP与面ADP所成角的正弦值；3)iSiCDP与面ADP所成二面角的人小。Cz4（二面角

6、）：如图，P4丄平ffiABC,AC丄BC.PA=AC=VBC=4Z,求二面角A-PB-C的人小。2.如图，在长方体ABCD—AiBiCiDp中，AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AD上移动.AE(1)证明：DiE丄AQ；(2)当E为AB的中点时，求点E到而ACD

7、的距离;jr（3）AE等于何值时，二面角D—EC—D的人小为一.4三•利用空间向量求空间距离1.利用空间向量求空间两点间的距离空间两点间的距离，可以表示为以这两点为起点和终点的向量的模，向量的模满足关系式IAB=AB=75?2.利用空间向量求点到面的距离如图，设历是平面a的法向量，

8、AB是平面a的一•条斜线，则点B到平啲a的距离d=MEInI3.求一个点到平面的距离的一般步骤：（1）找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量。（2）求出该平面的一个法向量。（3）求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模。4.线血距离，UT血距离nJ转化为点面距离，用求点面距离的方法进行求解。5.利用空间向最求两异血口线距离如图，设仏/2是两条异面直线，斤是仃,後的公垂线段AB的方向向量，又C、D分别是仃丿2上的任意两点，则〃与D的距离是d=1AB1=CDn\ii6(点到面的距离)：设4(2,3,1),B(4,1,2),C

9、(6,3,7),Q(—5,—4,8),求点Q到平面ABC的距离7（点点间的距离最值）：如图，正方形ABCD.ABEF的边氏都是1,而II