浅谈高观点素材的教学功能

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1、本文发表于《数学教学研究》2006年第11期浅谈高观点素材的教学功能随着高考改革的深化，高考数学题由知识立意转向了能力立意，并着重考查学生的学习潜能，从而使得以高等数学知识和思想方法为背景的试题成为近年來各地高考中的热点。作为高中数学教师，用高等数学的思想、观点和方法來指导中学数学教学实践，沟通高等数学与初等数学的内在联系，指导学生进行研究性学习，培养学生的探究精神与创新能力，将是新形势下搞活屮学数学教学的一条有效途径。本文通过对儿个案例的分析，谈谈高观点索材在中学数学中的教学功能。1.兴趣激发功能奇美的事物能激起强烈的好奇心，从而能驱动学生去积极思考、主动探索、努力钻研；

2、许多高观点素材往往能引发学生的认知冲突，具有激趣激疑的良好功效。因而以高观点素材熏陶学生，必将有利于教材的合理组织和教学的有效开展。［案例1］：（蒲丰投针实验）用尺画一组相距为1的平行线，一根长为&的针扔到画了线的2平面上，若跟平行线相交，则称“扔出有利”。这样扔若干次，你会惊奇的发现，“扔出有利”的概率为丄，而且扔的总次数越多，由此得到的龙的值越精确。n在数学发展史上，圆周率龙的计算有着相当重要的地位，它曾经是衡量一个国家数学发展水平的重要标志。在概率教学中介绍利用概率知识计算圆周率的方法，将会使学生体验到数学的神奇，心灵上也会受到极大的震撼。虽然蒲丰投针实验的结论的证明

3、耍用到微积分知识，但这并不会削弱这个实验的教学价值一一激发了学生的学习兴趣。2.难点释疑功能中学数学中很多问题或错误，站在初等数学的角度上是很难解决或发现的；倘若能站在高等数学的角度，沟通初、高联系，居高临下释疑，将会更有利于学生深刻领悟数学概念的精髓及其后续发展。［案例2］：初学函数时，关于函数图像与周期，学生屮往往有这样两个典型错误观点：①任何函数都有图像；②任何周期函数必有最小正周期。这时只需介绍高等数学中重要函数一一Dirichlet函数，即可轻松解决学生的疑惑。Dirichlet函数是如下定义的函数：吩）毗:鶯蠶’由于实数是稠密的，因此该函数的图像实际上是画不出来

4、的；任意非零有理数都是该函数的周期，而不存在最小正有理数，故Dirichlet函数也无最小正周期。笔者在实际教学中引入了这个容易让学生理解接受的Dirichlet函数，使学生更为深刻的理解到函数相关概念的内涵，获得了良好的教学效果。利用高观点素材进行难点释疑，原则是不能脱离中学数学的课程标准和教材；在重耍概念和知识联系上做必要的拓宽，是教学屮介绍高等数学知识所应把握的“度”的要求。3.问题编拟功能能力立意的高考命题，为追求考试公平、摆脱题海战术的樊篱，再加上导数等新增内容进入高考，使得一类以高等数学思想或知识为背景的创新题脱颖而出，成为近年来高考命题改革中的“宠儿”。在高等

5、数学与初等数学的衔接处，尝试用高等数学知识编拟一些不脱离屮学实际的习题，是高观点素材的重要教学功能。［案例3］：高等数学中有如下结论：单调递增，且（1+丄丫Vn）<3（其屮单调递（1、几+1减，且1+—>2；故两数列均冇极限，记为n编题思路1：由•单调递增可以推得｛（i+叫单调递减，即对正整数心（加如有11（1（1+加）万>（1+死）匚，这就是题1第（2）小题的背景本质；而1+丄<3的证明过程中体现In）的逐项对应比较的方法则可看成是该高考题第（1）小题的由來：题1：（2001年高考全国卷第20题）已知i,m‘是正整数，Rl（

6、1+小〃1编题思路2：由单调递减,其中N湫』>2・两边取对数得（刃+2均成立，即71+1有In3-In2v?山?,54-ln3V,,inn-ln(n—1)<,各式相力口得lnn-ln2<21n2fl+l+..+"(34n)34n丄，整理得丄+丄+丄+…+丄〉丄魄2〃（*）•调和级数亍丄是234n22Jnn=l高等数学中重要的发散级数，（*）式可以看作是调和级数的一种“下界估计”，以（打式证明过程中用到的裂项相消法为考查重点，以（*）式的结论为题设背景，是命制下面这道数列综合题的主要出发点：题2：（2005年高考湖北卷第22

7、题）已知不等式丄+丄+..・+2>2［10幻/2］,其中〃为大于223n2的整数，［log2表示不超过10g2〃的最大整数.设数列｛"｝的各项为正，且满足5=^>0）,an<]』=2,3,4,….证明：an<-一器,〃=3,4,5・..〃+%]2+/410肪n]以高等数学为背景编拟初等问题，要求所编的问题必须能用初等数学方法解答，不能生搬硬套高等数学解法，比如上述两题都仅需要初等数学中排列组合、数列等相关知识解决；另外，所编拟的新题的背景应是具有普遍意义的高等数学内容，如上述两题的背景就是数学分析中的重要内容。1.