2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第8节圆锥曲线的综合问题第2课时范围最值问题教学案含解析

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1、第2课时范围、最值问题范围问题22yx6【例1】(2018·贵阳监测)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且椭圆C22ab3上的点到一个焦点的距离的最小值为3－2.(1)求椭圆C的方程；(2)已知过点T(0,2)的直线l与椭圆C交于A，B两点，若在x轴上存在一点E，使∠AEB＝90°，求直线l的斜率k的取值范围．[解](1)设椭圆的半焦距长为c，c6＝，a3则由题设有a－c＝3－2，2解得a＝3，c＝2，∴b＝1，2y2故椭圆C的方程为＋x＝1.3(2)由已知可得，以AB为直径的圆与x轴有公共点

2、．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点为M(x0，y0)，2y222将直线l：y＝kx＋2代入＋x＝1，得(3＋k)x＋4kx＋1＝0，32－4k1Δ＝12k－12，x1＋x2＝2，x1x2＝2.3＋k3＋kx1＋x2－2k62∴x0＝＝2，y0＝kx0＋2＝2，

3、AB

4、＝1＋k

5、x1－x2

6、＝23＋k3＋k221＋k·x1＋x2－4x1x224212k－1223k－1＝1＋k＝，223＋k3＋k2Δ＝12k－12＞0，614由题意可得解得k≥13，≤

7、AB

8、，23＋k244即k≥13或k≤－

9、13.44故直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－13]∪[13，＋∞)．[规律方法]求参数范围的四种方法1函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解.2不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数范围.3判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ求参数的范围.4数形结合法：研究该参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解.22xy(2019·临沂摸底考试)已知点F为椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，且22abxy两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形

10、，直线＋＝1与椭圆E有且仅有一个交点M.42(1)求椭圆E的方程；xy2(2)设直线＋＝1与y轴交于P，过点P的直线l与椭圆E交于不同两点A，B，若λ

11、PM

12、42＝

13、PA

14、·

15、PB

16、，求实数λ的取值范围．22xy[解](1)由题意得a＝2c，b＝3c，则椭圆E为＋＝1.224c3c22xy2＋＝c，4322由xy得x－2x＋4－3c＝0.＋＝142xy∵直线＋＝1与椭圆E有且仅有一个交点M，4222∴Δ＝4－4(4－3c)＝0⇒c＝1，22xy∴椭圆E的方程为＋＝1.4331，(2)由(1)得M2，xy

17、25∵直线＋＝1与y轴交于P(0,2)，∴

18、PM

19、＝，424当直线l与x轴垂直时，

20、PA

21、·

22、PB

23、＝(2＋3)(2－3)＝1，24∴由λ

24、PM

25、＝

26、PA

27、·

28、PB

29、⇒λ＝，5当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，y＝kx＋2，22由⇒(3＋4k)x＋16kx＋4＝0，223x＋4y－12＝04221依题意得x1x2＝，且Δ＝48(4k－1)＞0，∴k＞，23＋4k422415∴

30、PA

31、·

32、PB

33、＝(1＋k)x1x2＝(1＋k)·＝1＋＝λ，223＋4

34、k3＋4k4141＋2214∴λ＝3＋4k，∵k＞，∴＜λ＜1，5454，1综上所述，λ的取值范围是5.最值问题►考法1利用几何性质求最值问题22【例2】在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x－y＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________．222[双曲线x－y＝1的渐近线为x±y＝0，直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0平行，2

35、1－0

36、2故两平行线的距离d＝＝.由点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，221＋－1222得c≤，故c的最大

37、值为.]22►考法2建立函数关系利用基本不等式或二次函数求最值22xy3【例3】已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的22ab223右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．3(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点．当△OPQ的面积最大时，求l的方程．223[解](1)设F(c,0)，由条件知，＝，得c＝3.c3c3222又＝，所以a＝2，b＝a－c＝1.a22x2故E的方程为＋y＝1.4(2)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y＝kx－2，P(x1

38、，y1)，Q(x2，y2)．2x222将y＝kx－2代入＋y＝1，得(1＋4k)x－16kx＋12＝0.42当Δ＝16(4k－3)>0，2238k±24k－3即k>时，x1,2＝.244k＋12224k＋1·4k－3从而

39、PQ

40、＝k＋1

41、x1－x2

42、＝.24k＋12又点O到直线PQ的距离d＝.2k＋12144k－3所以△OPQ的面积S△OPQ＝d·

43、PQ

44、＝.224k＋14t42设4k－3＝t，则t>0，S△OPQ＝2＝4.t＋4t＋t47