2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第8节圆锥曲线的综合问题第2课时范围最值问题教学案含解析理.pdf

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1、第2课时范围、最值问题范围问题y2x26【例1】(2018·贵阳监测)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且椭圆Ca2b23上的点到一个焦点的距离的最小值为3－2.(1)求椭圆C的方程；(2)已知过点T(0,2)的直线l与椭圆C交于A，B两点，若在x轴上存在一点E，使∠AEB＝90°，求直线l的斜率k的取值范围．[解](1)设椭圆的半焦距长为c，c6＝，则由题设有a3a－c＝3－2，解得a＝3，c＝2，∴b2＝1，y2故椭圆C的方程为＋x2＝1.3(2)由已知可得，以AB为直径的圆与x轴有公共点．设A(x，y)，B(x，y

2、)，AB中点为M(x，y)，112200y2将直线l：y＝kx＋2代入＋x2＝1，得(3＋k2)x2＋4kx＋1＝0，3－4k1Δ＝12k2－12，x＋x＝，xx＝.123＋k2123＋k2x＋x－2k6∴x＝12＝，y＝kx＋2＝，

3、AB

4、＝1＋k2

5、x－x

6、＝023＋k2003＋k2121＋k2·x＋x2－4xx121212k2－1223k4－1＝1＋k2＝，3＋k23＋k2Δ＝12k2－12＞0，由题意可得61解得k4≥13，≤

7、AB

8、，3＋k2244即k≥13或k≤－13.44故直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－13]∪

9、[13，＋∞)．[规律方法]求参数范围的四种方法函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解.不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数范围.判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ求参数的范围.数形结合法：研究该参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解.x2y2(2019·临沂摸底考试)已知点F为椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，且a2b2xy两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线＋＝1与椭圆E有且仅有一个交点M.42(1)求椭圆E的方程；xy(2)设直线＋＝1与y轴交于P，

10、过点P的直线l与椭圆E交于不同两点A，B，若λ

11、PM

12、242＝

13、PA

14、·

15、PB

16、，求实数λ的取值范围．x2y2[解](1)由题意得a＝2c，b＝3c，则椭圆E为＋＝1.4c23c2x2y2＋＝c2，43由得x2－2x＋4－3c2＝0.xy＋＝142xy∵直线＋＝1与椭圆E有且仅有一个交点M，42∴Δ＝4－4(4－3c2)＝0c2＝1，x2y2∴椭圆E的方程为＋＝1.433(2)由(1)得M1，，2xy5∵直线＋＝1与y轴交于P(0,2)，∴

17、PM

18、2＝，424当直线l与x轴垂直时，

19、PA

20、·

21、PB

22、＝(2＋3)(2－3

23、)＝1，4∴由λ

24、PM

25、2＝

26、PA

27、·

28、PB

29、⇒λ＝，5当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋2，A(x，y)，B(x，y)，1122y＝kx＋2，由⇒(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0，3x2＋4y2－12＝041依题意得xx＝，且Δ＝48(4k2－1)＞0，∴k2＞，123＋4k24415∴

30、PA

31、·

32、PB

33、＝(1＋k2)xx＝(1＋k2)·＝1＋＝λ，123＋4k23＋4k244114∴λ＝1＋，∵k2＞，∴＜λ＜1，53＋4k2454综上所述，λ的取值范围是，1.5最值问题►考法1利用

34、几何性质求最值问题【例2】在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________．2[双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0，直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0平行，2

35、1－0

36、2故两平行线的距离d＝＝.由点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，12＋－2222得c≤，故c的最大值为.]22►考法2建立函数关系利用基本不等式或二次函数求最值x2y23【例3】已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的a2b22

37、23右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．3(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点．当△OPQ的面积最大时，求l的方程．223[解](1)设F(c,0)，由条件知，＝，得c＝3.c3c3又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.a2x2故E的方程为＋y2＝1.4(2)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y＝kx－2，P(x，y)，Q(x，y)．1122x2将y＝kx－2代入＋y2＝1，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.4当Δ＝16(4k2－3)>0，38k±24k2－3即k2>时，x＝.41,24k2＋14k2＋1

38、·4k2－3从而

39、PQ

40、＝k2＋1

41、x－x

42、＝.124k2＋12又点O到直线PQ的距离d＝.k2＋1144k2－3所以△OPQ的面积S＝d·

43、PQ

44、＝.△OPQ24k2＋14t4