（黄冈名师）高考数学核心素养提升练四十四空间直角坐标系、空间向量及其运算理（含解析）新人教A版

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1、核心素养提升练四十四　　空间直角坐标系、空间向量及其运算(25分钟　50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.在如图所示的空间直角坐标系O-xyz中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2),给出编号①、②、③、④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为(　　)A.①和②B.③和①C.④和③D.④和②【解析】选D.在空间直角坐标系中,标出已知点,可知正视图为④和俯视图为②.2.已知点A(-3,1,5)与点B(0,2,3),则A,B之间的距离为(　　)A.B.2

2、C.D.【解析】选C.因为A(-3,1,5),B(0,2,3),所以

3、AB

4、===.3.已知向量a=(2,-1,2),b=(2,2,1),则以a,b为邻边的平行四边形的面积为(　　)A.B.C.4D.8【解析】选B.设向量a和b的夹角是θ,则由空间向量的数量积公式和题意得cosθ===,所以sinθ==,所以以a和b为邻边的平行四边形的面积为S=2××

5、a

6、×

7、b

8、×=.4.已知三棱锥O-ABC,点M,N分别为AB,OC的中点,且=a,=b,=c,用a,b,c表示,则等于(　　)A.(b+c-a)B.(a+b-c

9、)C.(a-b+c)D.(c-a-b)【解析】选D.因为=-=-=.5.有4个命题:①若p=xa+yb,则p与a,b共面;②若p与a,b共面,则p=xa+yb;③若=x+y,则P,M,A,B共面;④若P,M,A,B共面,则=x+y.其中真命题的个数是(　　)A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由共面向量基本定理可知①③正确,②中若a,b共线,p与a不共线,则p=xa+yb就不成立,④中若M,A,B共线,点P不在此直线上,则=x+y不正确.6.(2018·长沙模拟)已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2)

10、,c=(7,5,λ).若a,b,c三向量共面,则实数λ等于(　　)A.B.　C.D.【解析】选D.由题意设c=ta+μb=(2t-μ,-t+4μ,3t-2μ),所以所以7.在空间四边形ABCD中,·+·+·的值为(　　)A.0B.1C.2D.3【解析】选A.如图,令=a,=b,=c,则·+·+·=·(-)+·(-)+·(-)=a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a)=a·c-a·b+b·a-b·c+c·b-c·a=0.【一题多解】选A.如图,在三棱锥A-BCD中,不妨令其各棱长都相等,则正四面体的对棱互相垂

11、直.所以·=0,·=0,·=0.所以·+·+·=0.二、填空题(每小题5分,共15分)8.已知向量a=(0,-1,1),b=(4,1,0),

12、λa+b

13、=且λ>0,则λ=________. 【解析】a=(0,-1,1),b=(4,1,0),所以λa+b=(4,1-λ,λ),所以16+(λ-1)2+λ2=29(λ>0),所以λ=3.答案:39.已知O(0,0,0),A(-2,2,-2),B(1,4,-6),C(x,-8,8),若OC⊥AB,则x=________;若O,A,B,C四点共面,则x=________. 

14、【解析】由题意得,=(x,-8,8),=(3,2,-4),所以OC⊥AB⇒·=3x-16-32=0,所以x=16;若O,A,B,C四点共面,所以存在唯一的实数λ,μ使得,=λ+μ,所以(x,-8,8)=λ(-2,2,-2)+μ(1,4,-6),所以答案:16　810.已知点P为棱长等于2的正方体ABCD-A1B1C1D1内部一动点,且

15、

16、=2,则·的值达到最小时,与夹角大小为________. 【解析】由题意得,取C1D1中点M,则·==-=-1,因为

17、

18、=2,所以P在以A为球心2为半径的球面上,所以

19、

20、min=

21、AM-2=3-2=1,因为PM=C1D1,所以PD1⊥PC1,所以与的夹角为90°.答案:90°(20分钟　40分)1.(5分)已知空间直角坐标系中O为原点,A(0,0,3),B(0,4,0),C(5,0,0),则经过O,A,B,C四点的球的体积为(　　)A.50πB.πC.π　D.π【解析】选B.根据四个点的坐标可知,这四个点构成直角四面体,补形为长方体后,对角线长为=5,四面体的外接球就是长方体的外接球,直径为5,所以所求的球的体积为=.2.(5分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,BC=CD

22、=2,AC=4,∠ACB=∠ACD=,F为PC的中点,AF⊥PB,则PA的长为(　　)A.2B.2C.2D.4【解析】如图,连接BD交AC于点O,因为BC=CD,∠ACB=∠ACD,所以AC⊥BD,因为PA⊥底面ABCD,所以以,,为x,y,z轴正方向,建立空间直角坐标系,则OC=CDcos=1,OD=CDsin=,因为AC=4,所以AO=3,所以A(0,-3,0),B(