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《（黄冈名师）高考数学核心素养提升练四十五利用空间向量证明空间中的位置关系理（含解析）新人教A版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、核心素养提升练四十五 利用空间向量证明空间中的位置关系(25分钟 60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.设直线l的方向向量为(1,-1,1),平面α的一个法向量为(-1,1,-1),则直线l与平面α的位置关系是( )A.l⊂αB.l∥αC.l⊥αD.不确定【解析】选C.因为直线l的方向向量为(1,-1,1),平面α的一个法向量为(-1,1,-1),显然它们共线,所以直线l与平面α的位置关系是垂直即l⊥α.2.已知平面α,β的法向量分别为μ=(-2,3,-5),v=(3,-1,4),则( )A.α∥βB.α⊥β C.α,β相交但不垂直D.以上都不正确【解析】选C.因
2、为≠≠,所以μ与v不是共线向量,又因为μ·v=-2×3+3×(-1)+(-5)×4=-29≠0,所以μ与v不垂直,所以平面α与平面β相交但不垂直.3.如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=,AF=1,点M在EF上且AM∥平面BDE.则M点的坐标为( )A.(1,1,1)B.C.D.【解析】选C.因为点M在EF上,设ME=x,所以M,因为A,D,E(0,0,1),B(0,,0),所以=(,0,-1),=(0,,-1),=.设平面BDE的法向量n=(a,b,c),由得a=b=c.故可取一个法向量n=.因为n·=0,所以x=1,所以M.4.已知=(1,5,-2)
3、,=(3,1,z),若⊥,=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则实数x,y,z分别为( )A.,-,4B.,-,4C.,-2,4D.4,,-15【解析】选B.因为⊥,所以·=0,所以3+5-2z=0,解得z=4.又因为BP⊥平面ABC,所以⊥,⊥,所以,解得x=,y=-,所以x=,y=-,z=4.5.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则·的值为( )A.a2B.a2C.a2D.a2【解析】选C.如图,设=a,=b,=c,则
4、a
5、=
6、b
7、=
8、c
9、=a,且a,b,c三向量两两夹角为60°.=(a+b),=c,所以·=(a
10、+b)·c=(a·c+b·c)=(a2cos60°+a2cos60°)=a2.二、填空题(每小题5分,共15分)6.设平面α与向量a=(-1,2,-4)垂直,平面β与向量b=(-2,4,-8)垂直,则平面α与β位置关系是________. 【解析】因为2a=b,所以a∥b.因为平面α与向量a垂直,所以平面α与向量b也垂直.而平面β与向量b垂直,所以α∥β.答案:平行7.如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ上,E,F分别为AB,BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为θ,则cosθ的最大值为________. 【解析】如图,建立空间
11、坐标系,设正方形的边长为2,则A(0,0,0),F(2,1,0),E(1,0,0),设M(0,m,2)(0≤m≤2),则=(2,1,0),=(1,-m,-2),cosθ=,令t=2-m(0≤t≤2),cosθ=×≤×=.答案:8.如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为________. 【解析】不妨设CA=CC1=2CB=2,则A(2,0,0),B1(0,2,1),B(0,0,1),C1(0,2,0),所以=(-2,2,1),=(0,2,-1),所以直线BC1与直线AB1夹角θ的余弦值是cosθ===
12、,所以直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图所示,在多面体A1B1D1DCBA中,四边形AA1B1B,ADD1,ABCD均为正方形,E为B1D1的中点,过A1,D,E的平面交CD1于F.(1)证明:EF∥B1C.(2)求二面角E-A1D-B1的余弦值.【解析】(1)因为A1D∥B1C,A1D⊂平面A1DE,B1C⊄平面A1DE,所以B1C∥平面A1DE,又B1C⊂平面B1CD1,平面A1DE∩平面B1CD1=EF,所以EF∥B1C.(2)设正方形边长为1,以A为原点,分别以,,为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,
13、0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),D1(0,1,1),而E是B1D1的中点,所以点E的坐标为(0.5,0.5,1).设平面A1DE的法向量n1=(r1,s1,t1),又=(0.5,0.5,0),=(0,1,-1),由n1⊥,n1⊥得:,令s1=t1=1,则n1=(-1,1,1),设平面A1B1CD的法向量n2=(r2,s2,t2),又=(1,0,0),=(0,1,-1),同理可得:n2=(0,1,1),所以结合图形可得二面角E-A1D-B1的余
