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1、“巧”构“妙”求山东王徳志数学是一门创造性的艺术，蕴含着丰富的美，而灵活、巧妙的构造令人拍手叫绝，能为数学问题的解决增添色彩，更具研究和欣赏价值。在解决某些数学问题时，通过对条件和结论充分细致地分析，抓住问题的特征，联想熟知的数学模型，恰当地构造辅助元素，在已知与未知Z间建立起一个优美的数学模型，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称Z为构造法。构造法是一种针对具体的问题的特点而采取相应的解决办法，没冇固定的模式可以套用，其基本的方法是：借用一类问题的性质，來研究另一类问题的思维方法。一、构造图形以儿何元
2、索或者儿何背景建立起来的概念，比如向虽、复数、解析儿何等是用代数的方法研究儿何的知识,是数形结合的集中体现.根据式子的结构特征通过构造相关图形，转化为肓线的斜率、截距、距离等平面几何屮的有关问题求解，通过构造图形去解决数学问题，充分体现了一种非常重要的数学思想方法：数形结合法。“数”与“形”是数学中的两个最基本的概念，它们是数学的两人支柱。数量关系抽象、儿何图形直观。将这两个既对立、又统一的概念巧妙地加以沟通，是研究、解决数学问题的一种重要的方法。1•构造斜率在一些问题屮，如果直接利用题口中给出的条件则无从下手，
3、且给出的形式是分式的形式，且分子分母都包含字母，即形如m=^-问题，不妨考虑利用原式的几何意义——斜率求解。x-a例1y=2~Sin¥的最大值和最小值之和为•一2-cosx分析:根据式子的结构特征可以想象经过两点的直线的斜率，而点(cosx,sinX)显然在单位圆上，故可构造圆，通过直线和圆的位置关系求解该题.解:取点A(2,2),P(cosx,sinx)，故y=-—也三表示A^P两点连线的斜率k,而点P在圆%2+=1±,2一cosx如图，当直线AP与圆相切时，斜率k取得最值.直线AP的方程为y-2=k(x-2)
4、f即kx-y-2k^2=0f由点到直线的距离公式得号W,解得R二丝J1+/3故2-sinx的最人值为出疗，最小值为上2一cosx33Q故该函数的最大值和最小值Z和为9•3点评:的三角函数的最值，可以根据解析式的结构特征构造其几何意义一一定点与动点连线的斜率来解决，然后确定动点的轨迹，结合轨迹的形状利用数形结合灵活处理，可以轻松地找到思路，减少繁杂的运算.2.构造截距在平面解析几何屮，几何图形的性质可通过对应的方程,采用代数的方法来研究，而已知的方程或某些函数解析式也体现了形的性质，因此通过构造可以直观的确定解题思
5、路。例2已知实数x^y满足兀2+y2一4x+l=0,求y-X的最人值与最小值。分析：化x、y满足的关系式为(x-2)2+y2=3表示以（2,0）为圆心，、疗为半径的圆，其中y-x可以看作是直线y=x+b在y轴上的截距，因此考虑构造截距求解。解析：由y-兀可以看作是直线y=x+b在y轴上的截距，所以当直线与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时有忆_£切=巧,解得b=-2土亦，所以y-x的最大值为—2+V6,最小值为-2-V6oV2点评：在求解与圆有关的最值问题多采用几何法，就是利用一些代数式的几何意义进行转化
6、，将未知的代数问题转化为我们熟悉的几何问题，这种策略在解析几何问题中常见，望引起同学们的注意。3.构造距离所谓的构造距离，就是在一些实际的问题中，可以结合两点间的距离公式d=-兀2F+（）1—儿匸的构成形式，巧妙的将一些类似的式了转化构造成距离的形式求解。x-y+1<0例3实数x、y满足店>0,若z=/+）,2,求出z的取值范围。）圧2因此需要画出已知的线性规划区分析：本题中z=x2+y2表示的是区域内的点到原点的两点距离的平方,域，利用区域内满足条件的的点求解。x-y+l<0解析：由｛兀〉0作出可行域如图所示.
7、Z=/+y2表示可行域内的任意一点与处标原点的两点间的距离的平方，因此x2+/的范围为
8、OA
9、2（取不到），最大为OBf,由二解得A点坐标为(0,1),所以
10、(9A
11、2=(V0+T)2=l,
12、OB
13、2=(Vl2+22)2=5,所以z的取值范围是(1,5]o点评：本例中由x>0,故可行域内y轴上的点不存在，所以最小值
14、04『不存在，本例与常规的线性规划不同，主要是目标函数不是直线形式，此类问题常考虑目标函数的几何意义，利用代数式的几何意义使得所求得的问题得以转化，往往是解决此类问题的关键。二、构造函数函数是中学数
15、学的重要内容，函数的思想及英应用渗透到数学的各个分支Z中。冇些数学题看起来似乎与函数毫不相干，但是根据题冃的特点，可以巧妙地构造一个函数，架起两者Z间的关系，利用函数的和关知识解决相关问题，如比较数的大小，证明不等式等，这也是函数思想在解决具体问题中的应用.1•构造函数比较大小例4已知x、ywR,且T+3V>2~y+3_x那么（）A、x+y<0B、x+y>0C、xy<0D
