32.巧换元妙构函数.探究指对不等式

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1、[中国高考数学母题一千题](第0001号)巧换元妙构函数.探究指对不等式探究二元指对函数不等式的换元方法含有指数函数y=ex与对数函数y=lnx的二元不等式问题是高考中热得不能再热的热点问题;对有关函数式进行等价变形,运用整体思想引入新的变元,把握变量间的本质关系,可促使问题解决.[母题结构]:探究解决含有ex或lnx的二元不等式问题的引入变元策略.[母题解析]:针对不同情况引入变元的策略有:①如果关于变元a,b的不等式中含有ex,可作差引入新的变元t=b-a,把关于a,b的二元不等式转化为关于t的一元不等式,然后构造关于t的函数解决问题;②如果关于变元a,b的不等式中含有ln

2、x,可作商引入新的变元t=,把关于a,b的二元不等式转化为关于t的一元不等式,然后构造关于t的函数解决问题;③如果关于变元a,b的不等式中含有参数m,且对m的每一个取值,变元a,b在其取值范围内都有唯一的一个值,那么,a,b都是m的函数,确定参数m为变元,通过研究隐藏函数a=f(m)和b=f(m)解决问题.1.指数函数,作差换元子题类型Ⅰ:(2013年陕西高考理科试题)已知函数f(x)=ex,x∈R.(Ⅰ)若直线y=kx+1与f(x)的反函数的图像相切,求实数k的值;(Ⅱ)设x>0,讨论曲线y=f(x)与曲线y=mx2(m>0)公共点的个数;(Ⅲ)设a

3、理由.[解析]:(Ⅰ)由f(x)的反函数为g(x)=lnx,设直线y=kx+1与g(x)=lnx的图像在P(x0,y0)处相切,则有y0=kx0+1=lnx0,k=(x0)=x0=e2,k=;(Ⅱ)曲线y=ex与y=mx2的公共点个数等于曲线y=与y=m的公共点个数;令h(x)=,则(x)=(x-2)h(x)在(0,2)上递减,在(2,+∞)上递增hmin(x)=h(2)=,所以,当0时,曲线y

4、=h(x)与y=m恰有两个公共点,即曲线y=f(x)与y=mx2有两个公共点;(Ⅲ)由-=-=(-)=(-1+)=(-1+);令x=b-a>0,(x)=+-1,则(x)=-=>0(x)>(0)=0>1->;[点评]:对含有ex,且关于变元a,b的不等式,作差引入新的变元t=b-a时,应注意利用指数运算法则,把关于a,b的二元不等式转化为关于t的一元不等式.2.对数函数,作商换元子题类型Ⅱ:(2004年全国Ⅱ高考试题)已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx.(Ⅰ)求函数f(x)的最大值;(Ⅱ)设0

5、.[解析]:(Ⅰ)由(x)=-1=(x>-1)f(x)的最大值=f(0)=0;(Ⅱ)令t=>1,则01>1ln>0)>0h(t)>h(1)=0;又(1+t)ln2-(1+t)ln(1+t)+tlnt<(t-1)ln2(1+t)ln(1+t)-tlnt>2ln2;令H

6、(t)=(1+t)ln(1+t)-tlnt,则(t)=ln(1+t)-lnt>0H(t)>H(1)=2ln2.[点评]:对含有lnx,且关于变元a,b的不等式,作商引入新的变元t=时,应注意利用对数运算法则,把关于a,b的二元不等式转化为关于t的一元不等式.3.隐藏函数,互逆换元子题类型Ⅲ:(2014年天津高考试题)已知函数f(x)=x-aex(a∈R),x∈R.已知函数y=f(x)有两个零点x1,x2,且x1

7、令g(x)=(x≠0),则当x<0时,g(x)<0,当x>0时,g(x)>0,且(x)=(x-1)g(x)在(-∞,0)和(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,g(x)的极小值=g(1)=e,g(x)的图像如图,所以,函数y=f(x)有两个零点>g(x)的极小值e0