线性规划复习专题(经典)

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1、(x>0,^>0)(x>(),y^0)(兀Y0,y")(xY0,yY0)线性规划复习专题（经典）线性规划是新教材中新增的内容之一，由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。一、求线性目标两数的取值范围x<2例1、若X、y满足约束条件,则z=x+2y的取值范围是（）x+y>2A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线/：x+2y=0,将Z向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值

2、2,过点B（2,2）时，有最大值6,故选A二、求可行域的面积2%+y-6>0例2、不等式组｛兀+y—350表示的平面区域的面积为（）y<2■A、4B、1C.5D.无穷大解：如图，作出可行域，AABC的面积即为所求，由梯形（）MBC的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B三、求可行域中整点个数例3、满足lxl+lylW2的点（x,y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A.9个1()个C、13个D、14个x+y<2x-y<2解：lxl+lylW2等价于-x+y<2-x-y<2作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界）

3、，容易得到整点个数为13个，选D四、求线性目标两数中参数的取值范围x+y>5例4、已知x、y满足以下约束条件<兀一y+5W0,使z=x+ay（a>0）取得兀53最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、一3B、3C、一1D、1解：如图，作出可行域，作直线/：x+ay=0,要使目标函数z=x+ay（a>0）取得最小值的最优解有无数个，则将？向右上方平移后与直线x+y=5重合，故a=l,选D五、求非线性目标函数的最值2x+y-2>0例5、已知X、y满足以下约束条件｛X-2y+4>0,则z=x2+y2的最大值3x-

4、y-3<0和最小值分别是（）Ax13,113,2解:如图，作出可行域,x2+y2是点（x,y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的4平方，即IAOI2=13,最小值为原点到直线2x+y-2=0的距离的平方，即为一，选C六.求约束条件中参数的取值范围例6.已知I2x—y+ml<3表示的平面区域包含点（0,0）和（一1，1）,贝ljm的取值范围是（）的实际问题，而解A、(-3,6)(0,6)C、((),3)D.(-3,3)「2兀一〉‘+加+3〉0解：I2x—y+m

5、V3等价于

6、-3<0m+3>3由右图可知仁3“，故OS"选C线性规划的实际应用在科学研究、工程设计、经济管理等方而，我们都会碰到绘优化决策决这类问题的理论基础是线性规划。利川线性规划研究的问题，大致可归纳为两种类型：第一种类型是给定-淀数量的人力、物力资源,问怎样安排运用这些资源，能使完成的任务疑最大，的效益最大，第二种类型是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的人力、物力资源量最小。例1.某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料,第一种有72〃宀第二种冇56/假设生产每种产品都需要用两种木料,生产一只圆桌

7、和一个衣柜分别所需木料如F表所示•每生产一只圆桌可获利6元，牛•产一个衣柜可获利10元•木器厂在现有木料条件卜;圆桌和衣柜各生产多少，才使获得利润最多？产品木料（单位第一种第二种圆桌0.08衣柜0.090.280.18x+0.09y<720.08%+0.28y<56解：设生产圆桌x只，生产衣机y个，利润总额为z元，那么<而e6x+10y・x>0y>0如上图所示，作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域.作直线/:6x+10)=0,即/:3x+5y=O,把直线/向右上方平移至人的位置时,直线经过可行域上点M,

8、且与原点距离最大，此时z=6x+10y取最大值[0.18x+0.09y=72解方程组<，得M点坐标(350J00).答:应生产圆桌350只住产衣柜100个,能使利润总额达到最大.[0.08x+0.28y=56指出:资源数就一定，如何安排使川它们，使得效益最好，这是线性规划屮常见的问题之一例2、某养鸡场有1力只鸡，用动物饲料和谷物饲料混合喂养.毎天毎只鸡平均吃混合饲料0.5kg,其屮动物饲料不能少于谷物饲料的丄.5动物饲料每千克0.9元，谷物饲料每千克0.28元佝料公司每周仅保证供应谷物饲料50000匕问饲料怎

9、样混合才使成本绘低x+y>35000解:设每周需川谷物饲料xkg湖物饲料ykgM周总的饲料费川为z元,那么y>—x「5，而z=0.28x+0.9y00如下图所示，作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域.作一组平行直线0.28x+0.9vn,其屮经过可行域内的点且和原点最近的直线，经过直线丹尸35000和直线y=-x的交点x,8750017500、8750017500A(,)，