数学竞赛之多元函数

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1、多元函数知识要点：(一)可微与可导1.偏导数定义：函数Z二/(兀,刃在点&(观,儿)的某一邻域U(R),5)内有定义,z=/O,y)对X的偏增量Arz=f(x0+Ax,y0)-f(x09y0),如果此等二朗妙+呼用沁存在,则称此极限为函数T(s)在点虫Qz处对兀的偏导数.记作亍dx"心>->0dx=巾y=>o,Z大=曲y=yo或£CWo)2•可微定义：函数z=/gy)在点P{x.y)的全增暈Az可表示为Az=f(x+Ar,y+Ay)-f(x.y)=AAx+B0+o(q)其中：A、B不依赖于2、△)，,仅与兀、y有关，0(。)表示一个较。高阶的无穷

2、小,p=7(A^)2+(Ay)2,则称函数z=/(x,y)在点P(x,y)可微分，而AAr+BAy称为函数z=/(x,y)在点P的全微分，记作dz,即dz=AAx+BAy.3.高阶偏导数定义：若fx(x,y)sfy(x,y)的偏导数存在，则称它们是函数z=/(x,y)的二阶偏导数.高阶偏导数以此类推。(一)复合函数微分法1.复合函数的求导法则：函数u=^(x,y)及v=0(x,y)都在点(x,.y)具有对兀及对y的偏导数,函数Z=/(W,叭在对应点0,V)具有连续偏导数，则复合函数Z=/[0(尢，刃W(x,y)]在点(x,y)的两个偏导数存在，且

3、其偏导数可用下列公式计算；dzdzdudzdv—=1dxdudxdvdxdzdzdudzdv—=+dydudydvdy2.全微分形式的不变性：设函数z=f(u,v)具有连续的偏导数，则它有全微分aodz=-^dw+-^dv,当函数z=/(w,v),u=^(x,y),v=i//(x,y)均有连续偏导数,dudv则有全微分dz£dx+訥二敖+敖(一)方向导数和梯度1.方向导数的定义：如果函数Z=/(x,y)在点P(x,y)的某一邻域U(P)内有定义自点戶引一条射线/.设兀轴正向到射线/的转角为久并设+为/上的另一点,且P'wU(P).如果函数的增量A

4、z=/(x+Av,y+Ay)-/(x,y)与P、P两点间的距离PPr=p=J(M2+(Ay)2的比值，当P沿着/趋于P时的极限lim—存在，则称此极Q->()P限为函数z=/(x,y)在点P沿着/方向的方向导数记作%或密.即clcl8z=Hmfix+心,y+Ay)-y)dlk()p2.方向导数的计算：如果三元函数u二/gy,z)点P(x,y,z)是可微分的，则函数在该点沿任意-个方向厂的方向导数都存在,且号唱沁+知S0+知网。这里,a./为/的方向角.3•梯度的定义：若函数u=/(兀”z)在一点P处存在这样的向量G,其方向为弘在P点处变化率最大的

5、方向，其模是该点处最大变化率的值，则称向量G为函数u在P点处的梯度，记作gra蚊即昨亠知+齐+嚳"dudududx'dy'dz注：若记/方向上的单位向量为(cos%cos0,cos了)，梯度的大小为du◎2，方向导数又可以写成：詈=grad/*/=

6、gradf

7、cos^»其中，0是/与grad/的夹角。四.二重积分1•二重积分的定义：设/(七y)是定义在平面有界闭域D上的有界函数，将区域D任意分成〃个小区域：A(t2,,其中，Aq既表示第/个小区域，也表示它的面积，人表示它的直径.在每个小区域上都任意取一点(6“)(心1,2,/),作乘最大直径/

8、L=max｛Az.｝趋于0时，若极限总是存在且等于某个确定的值，则称函数/(x,y)在区域D上是可积的，此极限值称为函数/(兀,刃在区域Q上的二重积分，记作H.f(x,y)d6即JJf(兀,y)da=im£/(鼻Q)AqDI2.二重积分的直接计算法(累次积分法)：如果积分区域D可以表示成X-区域：｛(兀,y)a

9、(y)SxS%2(y),c

10、图8.5所示.其中函数？(〉，)、必(y)在区间［c,d］上连续，贝ijw=w(x,^),v=v(^,y)的逆变换下兀Oy平面上的区域D在"6平面上的像。由条件里嘤H(),这里的逆变换是存在的。4•二重积分的极坐标变换：在极坐标变换x=rcosOy=rsin0y0=arctan—(一)三重积分1.定义：设/(X,y,z)为定义在三维空间中的可求体积的有界闭区域V上的函数，J是一个常数，若对任意的£〉0,3^>0,使得对于V的任何分割T,只要T<8,属于分割T的所有积分和都有则称/(x,y,z)在V上可积，常数J成为/=!函数/(七y,在f(x,”

11、z)在V上的三重积分，记作^f(x,y,z)dv或者V兀，y,z)ckd2•三重积分的直接计算法：函数/(兀,”z)在长方体V=[^Z?