多元函数求偏导之锁链法则.doc

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1、多元复合函数求偏导数之锁链法则复合函数z=f（u，v），其中u=u（x，y），v=v（x，y）那么它的偏导数为uxαz/αx=αz/αu*αu/αx+αz/αv*αv/αxzαz/αy=αz/αv*αv/αx+αz/αu*αu/αxvy由该复合函数变量之间的关系链，可对此求偏导数法则做出如下的解释：求αz/αx，先通过z☞u☞x来求出x的第一部分的偏导数注：[沿第一条路径即为z对x求偏导的过程，将v与y看做常量，而u又为x的复合函数，所以求偏导的结果即为αz/αu*αu/αx]再通过z☞v☞x来求出x的第二部分的偏

2、导数，相加即为αz/αx的值注：[沿第二条路径即为z对x求偏导的过程，将u与y看做常量，而v又为x的复合函数，所以求偏导的结果即为αz/αv*αv/αx]把复合函数中变量之间相互依赖的关系形象的展示出来，对某个变量求偏导，就是将到达该变量的每条路径分别求导，这一法则称之为锁链法则班级：卓越经管学号：15031206姓名：郭佳妮1.1多元复合函数中间变量为一元函数例如：若y=f(u,v)=(u+v)^2,u=e^x,v=lnx，求dy/dx，αz/αx？dy/dx=(2u+2v)*(e^x+1/x)=αy/αXuyx

3、v1.2多元复合函数中间变量为二元函数例如:若z=f（u,v）=sin（u+v）,u=u(x,y)=ylnx,v=v(x,y)=x^3*y^2,求αz/αx法1：αz/αx=αz/αu*αu/αx+αz/αv*αv/αx=cos（u+v）*（y/x+3x^2*y^2）=cos（ylnx+x^3*y^2）*（y/x+3x^2*y^2）αz/αy=αz/αu*αu/αy+αz/αv*αv/αy=cos（u+v）*（lnx+2x^3*y）=cos（ylnx+x^3*y^2）*（lnx+2x^3*y）Uxzvy法2:αz/

4、αx=α[sin（ylnx+x^3*y^2）]/αx=cos（ylnx+x^3*y^2）*（ylnx+x^3*y^2）‘=cos（ylnx+x^3*y^2）*（y/x+3x^2*y^2）1.3多元复合函数中间变量既有一元函数又有多元函数例如：z=f（u,v）=u*e^(u+v)，u=u（x，y）=ln（x^y），v=v(y)=y^(2/3)，求αz/αx,αz/αyαz/αx=αz/αu*αu/αx=【u*e^(u+v)+e^(u+v)】*（y/x）=（u+1）*e^(u+v)*（y/x）αz/αy=αz/αu*α

5、u/αy+αz/αv*αv/αy=（u+1）*e^(u+v)*lnx+u*e^(u+v)*（2/3y^（-1/3））=【（u+1）*lnx+u*（2/3y^（-1/3）】e^(u+v)uxzvy2.1多元复合函数为具体函数1.W=（e^u）*（2^v）u=x^2+y^2v=xyzαw/αx=αw/αu*αu/αx+αw/αv*αv/αxαw/αy=αw/αu*αu/αy+αw/αv*αv/αyαw/αz=αw/αv*αv/αzUXWYVZ2.W=（e^u）*（2^v）*(t^3)u=cosxv=z^2t=xyzUx

6、wVy同上tz2.2多元复合函数为抽象函数1.Z=f（x^2-y^2，xyz）U=x^2-y^2v=xyzαz/αx=αz/αu*αu/αx+αz/αv*αv/αyuxzyvz