高中数学5.1不等式的基本性质知识导航学案苏教版选修4-5

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1、5.1不等式的基本性质自主整理1•两个实数的大小关系：a>bOa-b0;a=b<=>a-b0;abOba;(2)a>b,b>c=>ac;(3)a>b=>a+cb+c;(5)a>b>0=>anb"(nWN,且n>l);(6)a>bA0=>yfh(n^N,且n>l).高手笔记1.实数大小比较的原理与实数乘法的符号法则是推导不等式性质的依据•与等式相比，主要区别在数乘这一,性质上，对于等式a=b=>ac=bc,其中c对取任意实数,而对于不等式a>b,两边同乘cZ后,ac与be的大小

2、关系就需对c加以讨论确定.2.学习不等式的性质应注意三个方面的问题：(1)注意区分不等号“〉”“V”“工”“W”的含义，准确地表述不等式.(2)不等式的传递变形屮应注意不等号方向的一致性.(3)适当地放大或缩小是不等式变形的关键.3.不等式的一些性质在应用时可以适当延伸，如将“〉”改为“2”，“<”改为，将正数改为非负数等.如:a^b,bNcaNc;a>b20,c>0nac>bc等，而且还可推证出其他一些结论性质，如a>b,c>d=>a+c>b+d;a>b^0,c>dN0=*ac>bd等.4.区分“n”和“o”，即“推

3、出关系”和“等价关系”，或者说“不可逆关系”与“可逆关系”・如a>b,c>0=>ac>bc,但ac>bc不一定推出a>b,c>0,有可能a“〉”，“小于”<=>,“至多”“不多于”“小于等于”O“W”，“至少”“不少于”“大于等于”O“3”.名师解惑使用不等式的性质时应注意哪些问题？剖析：(1)不等式的性质都可由两个实数具有的性质推得，在使用时，一定要弄清它们成立的前提条件，例如，在应用传递性时，如果不等式中有一个带等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过去

4、的，如aWc,cab=>ac2>bc2,但如果缺少条件cHO,则a>b^ac2>bc2就是错误的，只能得到ac空be"当且仅当c二0时取“二”).(3)a>b>0=>an>bn成立的条件“nGN且n>l”不能省略.假设去掉会出现错误，如n=-l,a=3,b二2,则3-1>2-1与事实丄V丄矛盾.32总之,要正确使用不等式的性质进行变形，需注意不等式性质成立的条件，条件不同时，得到的结论有可能不同.讲练互动【例1】若a、b、ce

5、R,a>b,则下列不等式成立的是()1199Clb

6、

7、

8、

9、A.—<—B.a>1/C.>D.a

10、c

11、>b

12、c

13、abc2+1c2+1解析:A中—=-―,由a>b可以确定b-a<0,但不能确定ab的符号，二无法判定.B中abab需在都是正数的前提下成立.C中Vc2+l^l>0,・•・一>0.在a>b两边同乘一正数，方向不变，AC成立.而D中

14、20,当c二0时,a

15、c

16、=b

17、c

18、,D不成立.答案:C绿色通道解答有关不等式性质的选择题，一是利用不等式相关的性质推导，要特别注意不等式变号的因素及不等式的使用条件是否具备

19、;二是可用特殊值法或排除法解答.变式训练1.如果a、b、c满足cacB.c(b~a)>0C.cbJ0.A中b>c,a>O=>ab>ac成立.B中Vb0成立.C中Tb空0,当b=0吋,cb2=ab2,AC项不一定成立.D中a>c,a~c>0.ac<0,.ac(a~c)<0成立.解法二:取c二T、b二0、a二1,分别代入A、C、D中验证，

20、可知C不成立.答案:C【例2】己知a>b>0,c>d>0,求证:分析:观察要证的不等式，联系性质(6)可知关键是证明为此需先证丄〉丄.dcdc证明:Vc>d>0,・・・cd>0,c-d>0,—>0.cd•11c-dc••—一一二>0.dcde11—>->0.dcaaVa>b>0,•••—>—>0.dc又Ta>b>0,—>0,.I—>—>0.绿色通道根据不等式的性质证明简单的不等式,可观察要证的不等式的结构，联想与之有联系的不等式的性质或两个实数的大小关系进行变形运算.变式训练1.己知a>b>0,c

21、：一-—>―-—.a-cb-d证明:Vc-d>0.Va>b>0,/.a-c>b-d>0..eee(b-d)-(a-c)ee(b-a+c-d)・・==.a-ch-d(a_c)(b_d)(a_c)(b_d)Va-c>b-d>0,a-c_b+d>0./.b_a+c_d<0.Ve<0,e(b-a+c-d)>0..e(b-