【金版学案】2014-2015学年高中数学 3.4.1 基本不等式同步训练1 新人教版必修

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1、3.4　基本不等式：≤3．4.1基本不等式(一)►基础达标1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是(　　)A．x＋　　　　B．x2－1＋C．2x＋2－xD．x(1－x)答案：C2．已知a、b∈R，且ab≠0，则在①≥ab；②＋≥2；③ab≤2；④2≤这四个不等式中，恒成立的个数有(　　)A．1个B．2个C．3个D．4个答案：C3．某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则(　　)A．x＝B．x≤C．x＞D．x≥解析：依题意有A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，∴1＋x＝≤[(1＋a)＋(1＋b)]＝1＋∴x≤.故选

2、B.答案：B4．若x，y∈R＋，且x＋4y＝20，则x·y4的最大值是_______________________________________________________．解析：∵20＝x＋4y≥2＝4，∴≤5⇒xy≤25.等号成立的条件是x＝4y＝10.即x＝10，y＝.∴xy的最大值是25.答案：255．已知a，b∈R＋，如果ab＝1，那么a＋b的最小值为________；如果a＋b＝1，那么ab的最大值为__________．解析：∵a，b∈R＋，∴≥，∴a＋b≥2＝2.故当ab＝1时，a＋b取最小值2，此时a＝b＝1.又当a＋b＝1时，≤＝，∴ab≤

3、.故当a＝b＝时，ab取最大值.答案：2　6．已知a，b，c都是正数，求证：(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc.证明：∵a，b，c都是正数，∴a＋b≥2＞0，b＋c≥2＞0，c＋a≥2＞0，∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥2·2·2＝8abc，即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc，当且仅当a＝b＝c时等号成立．►巩固提高7．已知x、y＞0且x＋y＝1，则p＝x＋＋y＋的最小值为(　　)A．3B．4C．5D．6解析：此题很容易出错，认为x＋≥2，y＋≥2，∴p≥4，错选B，错误的原因是x、y不能同时取到1.4正确解法：x＋＋y＋＝3＋＋≥3＋2＝5.答案：

4、C8．设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是(　　)A．6　　　B．4　　　C．2　　　D．8解析：2a＋2b≥2＝2＝2＝4，等号成立，当且仅当2a＝2b.即a＝b＝，故选B.答案：B9．下列不等式的证明过程正确的是(　　)A．若a，b∈R，则＋≥2＝2B．若x>0，则cosx＋≥2＝2C．若x<0，则x＋≤2＝4D．若a，b∈R，且ab<0，则＋＝－＋≤－2＝－2答案：D10．求函数y＝(x>－1)的最小值．解析：∵x>－1，∴x＋1>0.∴y＝＝＝(x＋1)＋＋5≥2＋5＝9.当且仅当x＋1＝，即x＝1时，等号成立．∴当x＝1时，函数y＝(x>－1

5、)取得最小值为9.41．基本不等式的左式为和结构，右式为积的形式，该不等式表明两正数a，b的和与两正数a，b的积之间的大小关系，运用该不等式可作和与积之间的不等变换．2．“当且仅当a＝b时，等号成立”的含义．(1)当a＝b时等号成立的含意是：a＝b⇒＝；(2)仅当a＝b时等号成立的含意是：＝⇒a＝b；综合起来，其含意是：＝⇔a＝b.3．设a，b∈R，不等式a2＋b2≥2ab⇔ab≤⇔ab≤2.4．基本不等式的几种变式：设a＞0，b＞0，则a＋≥2，＋≥2，≥2a－b.4