【金版学案】2014-2015学年高中数学 3.4.1 基本不等式的证明同步训练 苏教版必修5

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1、3．4.1　基本不等式的证明情景导入：如下图所示，以线段a＋b的长为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC＝a，CB＝b，过点C作垂直于直径AB的弦DD′，连接AD、DB，则DC能否用a，b表示，DD′与AB的关系如何？由此你得到怎样的不等式？►基础巩固一、选择题1．如果a、b为绝对值不相等的非零实数，那么＋的值是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A．大于2B．小于－2或大于2C．小于等于2D．大于－2或小于2解析：a、b同号时大于2，a、b异号时小于－2.答案：B2．若a＞b＞0，则下列不等式成立的是(　　)

2、A．a＞b＞＞B．a＞＞＞bC．a＞＞b＞D．a＞＞＞b解析：由a－＝＞0，－b＝(－)＞0，再结合基本不等式＞.答案：B3．给出下面四个推导过程：①∵a，b∈R＋，∴＋≥2＝2；②∵x，y∈R＋，∴lgx＋lgy≥2；③∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4；④∵x，y∈R，xy＜0，∴＋＝－≤－2＝－2.其中正确的推导为(　　)A．①②B．②③C．③④D．①④解析：①由于a，b∈R＋，∴，∈R＋，符合基本不等式的条件，故①推导正确；②虽然x，y∈R＋，但当x∈(0,1)和y∈(0,1)时，lgx和lgy都是负数，∴②

3、的推导过程是错误的；③由a∈R，不符合基本不等式的条件，∴＋a≥2＝4是错误的．④由xy＜0，得、均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，，均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确．答案：D4．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是(　　)A.B．4C.D．5解析：y＝＋＝×2＝(a＋b)＝≥＝.答案：C5．下列结论正确的是(　　)A．当x＞0且x≠1时，lgx＋≥2B．当x＞0时，＋≥2C．当x≥2时，x＋的最小值为2D．当0＜x≤2时，x－无最大值解析：当0＜x＜1时，lgx＋＜0，∴A错误；

4、当x＞0时，＋≥2＝2，∴B正确；当x≥2时，x＋的最小值为，∴C错误．当0＜x≤2时，x－是增函数，最大值在x＝2时取得，∴D错误．答案：B二、填空题6．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则x与的大小关系是________．解析：因A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)≤A＝A，∴x≤.答案：x≤7．给出下列不等式：①a2＋1＞2a；②a2＋4≥4a；③≥2；④≤ab.其中恒成立的不等式的序号是________．解析：当a＝1时，①不成立；当ab＜0时，④不成

5、立．答案：②③8．(2013·天津卷)设a＋b＝2，b＞0，则当a＝________时，＋取得最小值．解析：∵a＋b＝2，∴＋＝＋＝＋≥＋1，显然当a＜0且b＝2

6、a

7、时，上式等号成立，此时b＝－2a与a＋b＝2联立即得a＝－2.答案：－2三、解答题9．已知a＞0，b＞0，c＞0，d＞0，求证：＋≥4.解析：＋＝＋＋＋＝＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b且c＝d时取“＝”号，∴＋≥4.10．设x1，x2，…，xn都是正整数，求证：＋＋…＋＋≥x1＋x2＋…＋xn.解析：∵x1，x2，…，xn都是正整数．∴由基本不等式得

8、＋x2≥2x1，＋x3≥2x2，…＋x1≥2xn.将以上n个式子相加命题即得证．►能力升级一、选择题11．设a＞b＞0，则a2＋＋的最小值是(　　)A．1B．2C．3D．4解析：∵a＞b＞0，a2＋＋＝a2＋＝a2＋≥a2＋＝a2＋≥4(当且仅当a＝2b＝时取“＝”)，故.答案：D12．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是(　　)A.B.C．5D．6解析：∵x＋3y＝5xy，∴＋＝5，∴3x＋4y＝(3x＋4y)＝≥＝(13＋12)＝5.答案：C13．若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中恒成

9、立的是(　　)A．a2＋b2＞2abB．a＋b≥2C.＋＞D.＋≥2解析：令a＝b＝1可知A，C不成立；令a＝b＝－1可知B不成立．答案：D二、填空题14．若a＞0，b＞0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________(写出所有正确命题的序号)．①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤＋≥2.解析：①项，∵a＞0，b＞0,2＝a＋b，a＋b≥2，∴≤1，即ab≤1；②项，∵－＝≥0，∴≤，∴＋≤，故＋≤2；③项，∵≥，∴a2＋b2≥.又∵a＋b＝2，∴a2＋b2≥2；④

10、项，∵a3＋b3＝(a＋b)3－3a2b－3ab2＝8－3ab(a＋b)＝8－6ab≥8－6＝2(由①ab≤1)；⑤项，＋≥≥2.答案：①③⑤15．(2013·云南玉溪检测题)若不等式

11、2a－1

12、≤对一切非零实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：∵＝

13、x

14、＋≥2，当且仅当x＝±1时取“＝”号，∴要使不等式恒成立，必须且只需

15、2a－1

16、≤2