2017年高考数学（全国乙卷（理科）考前抢分必做：压轴大题突破练（二）含答案

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1、压轴大题突破练（二）直线与圆锥曲线（2）1.（2016•浙江）如图,设椭圆卡+尸=1（a>1）.（1）求直线y=kx+被椭圆截得的线段长（用d,&表示）；（2）若任意以点力（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.解（1）设直线y=kx+1被椭圆截得的线段为AM,y=kx+l,得（1+a护）兀2+2a2kx=0、故%i=0,因此

2、/A7]=寸1+疋

3、兀]—也1=（2）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,0,满足AP=AO.记直线MP,力0的斜率分别为局，局，且k

4、,他>0,k?.占小仙“2弧"T禹2a2k2y[T+^由⑴知，

5、個-]+,后，AQ-1+/於，“2°认

6、寸1+后2a认h/l+冬故1+a曙=1+/泾’所以（好一居）[1+后+居+/（2—/）后肉=0.由于岛H局，k,局>0得1+后+於+/（2—/）后於=0,因此储+1）（古+1）=1+/（，—2）.①因为①式关于岛，局的方程有解的充要条件是1+/（/一2）>],所以a>yf2.因此，任意以点/（（）,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1

7、线/与抛物线y2=2px（p＞0）交于B两点,且去•為=_3,其中O为坐标原点.（1）求p的值；⑵当AM+^BM最小时，求直线/的方程.解（1）设/（兀】,p）,B（X2,力），直线/的方程为x=my+^.联立，x=my+yy1=2px消去x,得尹一2pmy—p2=0.2^yi+y2=2pm,y]y2=~p.OA.OB=-3,••冲2+皿=一3・又炯2=甥令•与_p2=_3=>#2=4.•〃＞0,・・p=2.（2）由抛物线定义，得+号=曲+1,BM=X2+^=X2+1,・•・

8、砂+4

9、砂=心+4兀2+5鼻2寸4乍2+5=9,

10、当且仅当xt=4x2时取等号.2将X]=4*2代入兀仏2=片=1,得兀2=

11、（负值舍去）.将兀2=空代入y~=4-.Y,得尹2=七血，即点5^2＞坏忆）将点3代入兀=tny+1,得m=±^.1,即4x±返y—4=0.・••直线/的方程为x=±^y+3.已知动点S（x,尹）到直线/：x=2迄的距离是它到点几返，0）的距离的迈倍.（1）求动点S的轨迹C的方程；（2）设轨迹C上一动点P满足：OP=aOM+2^ON,其中M,N是轨迹C上的点，直线OM与ON的斜率Z积为一若％,“）为一动点，&（一羽0）,E2芒,0）为两定点，求

12、的

13、+105啲值

14、.解（1）点S（x,尹）到直线x=2yf2的距离，是到点T（迈，0）的距离的也倍，则*-2血=冋（兀_何+尸,22化简得［+牙=1.22所以轨迹C的方程为［+牙=1.（2）设P（x,y）,Mg,必），N（X2,必），Yp因为点P,M,N在椭圆寸+专"=1上，所以xf+2屏=4,£+2務=4,x2+2/=4,故x2+2尸=，（xf+）+4/?（X2+2并）+4心心汎2+2尹i尹2）=4A~+16“2+42〃（x

15、%2+2y］旳）=4,设心A/，心N分别为直线OM,ON的斜率，由题意知，k（）M'—兀1兀2乙因此xix2+2y1^2=0,所

16、以尸+4/『=1,所以点0是椭圆护+4/?=1上的点，而&,d恰为该椭圆的左，右焦点，所以由椭圆的定义可得，

17、QE}+OE2=2.3.已知曲线C上任意一点P到两定点F

18、（-l,0）与E（l，0）的距离Z和为4.（1）求曲线C的方程；（2）设曲线C与x轴负半轴交点为力，过点M（—4,0）作斜率为k的直线/交曲线C于B、C两点（3在M、CZ间），N为BC屮点.①证明：£・人用为定值；②是否存在实数斤，使得戸N丄AC?如果存在，求直线/的方程，如果不存在，请说明理由.（1）解由已知可得：曲线C是以两定点F

19、（-l,0）和E（l，0）为焦

20、点，长轴长为4的椭圆，所以g=2,c=]=>b=yja2—c2=*/3,22故曲线C的方程为j+f=1.⑵证明设过点M的直线/的方程为y=k(x+4),设B(Xi.J*

21、),C(X2.夕2)(X2>X1)•p=£(x+4),①联立方程组]丘+弓=]得(4斥+3)工+32疋x+64X—12=0,r—32疋X1+x2=4?+3,则彳264k—12严注2=4/+3•故xjV=-+兀2_16疋厂=4乎+3,rv=Hxn+4)=2k4?+3*3所以心=一命,3所以k・心=—才为定值.②解若F]N丄AC,则kAukFN=-,因为尺（一1,0

22、）,2k4Zr2+34kkF'N=_6&_=厂斫科i+l因为/(—2,0),^AC=x^-^~29臥兀2+2）_4k__i'代入72=&（兀2+4）得也=一2—8斥，旳=2«—8心而兀2$—2,故只能k