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《2017年高考数学（全国乙卷（理科）考前抢分必做：中档大题规范练2含答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、中档大题规范练2立体几何与空间向量1.如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面丹D丄底面4BCD,侧棱R4=PD=迄,B4丄PD,底面ABCD为直角梯形，其中BC//AD,MB丄AD,4B=BC=,0为/D的中点.(1)求证："丄平面MCD；⑵求B点到平面PCD的距离；(3)线段加上是否存在一点0,使得二面角0—MC—D的余弦值为誓？若存在，求出麗的值；若不存在，请说明理由.(1)证明因为刊=PD=迈，。为/D的中点，所以P0丄AD,因为侧面丹D丄底面ABCD,所以P0丄平面ABCD.⑵解以O为原点，OC,OD,OP分
2、别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz,则3(1,-1,0),C(l,0,PB=(h-1,-1),设平面PDC的法向量为u=(x,y,z),CP=(~lf0,1),Pb=(0f1,-1).irCP,=—x+z=0,则*取z=1,得"=(1,1,1),irPD,=y—z=0,B点到平面PDC的距离」P，〜⑴1l«l-3•⑶解假设存在，则设甩(o«i),因为PD=(0,1,-1),所以0(0,2,1-A),mAC,=0,则I一jnAQ.〜=0,设平面C/0的法向量为m=(chb,c),a+b=0,即
3、(A+l
4、)Z)+(l-A)c=0,所以取加=(1—2,2—1,久+1),平面的法向量n=(0,0,1),因为二面角Q—4C—D的余弦值为誓,所以tn-n^6>n\~3所以3A证明：平面DFC丄平面D'EC；求二面角A—DF—C的大小.⑴证明以D为原点，分别以D4、DC、DD所在直线为x轴、尹轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，-10x+3=0,所以2=亍或2=3(舍去)，所以£2=丄OD~2'2.如图，在长方体ABCD—AXBCD中，AA{=AB=2AD=2,E为的中点，F为DE上的一点，DF=2FE.
5、EBEB则&(1,0,0),BQ,2,0),C(0,2,0),0(0,0,2).•・•£■为力3的中点，・••£点坐标为(1,1,0),•：DF=2FE,—2—2224・・DXF=^DE=—(1,1,—2)=(j,y—j),f->->224222DF=DD+DlF=(090,2)+(亍,亍，一亍)=(亍，3,亍).设/i=(x,尹，z)是平面DFC的法向量,DF=Ot.伶+务+£=0,•••5C=O,(2y=0,取x=l得平面FDC的一个法向量n=(l,0,-1).设p=(x,y,z)是平面EQC的法向量，则
6、”N>=0,,*+务一老=0,[p・D]C=0,2,y—2z=0,取y=l得平面D、EC的一个法向量p=(l,1,1).•・5・p=(l,0,-1)(1,1,1)=0,・•・平面DFC丄平面D、EC・⑵解设q=(x,yfz)是平面的法向量，则qDF=0,qDA=0..岸r+
7、y+
8、z=0,[x=0,取尹=1得平面/QF的一个法向量g=(0,1,-1),设二面角A—DF—C的平面角为&,由题中条件可知0丘(号，71),—tvq0+0+11则皿-亦尸-：7莎旷-刁・•・二面角A—DF—C的大小为120°.3.如图所示，
9、在直三棱柱A{BXCX—ABC中，力0丄AC,AB=AC=2,/山=4,点Q是BC的中占I八、、•(1)求界面直线力0与CQ所成角的余弦值；(2)求平面ADC{与平面所成二面角的正弦值.解(1)以/为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyzf则J(0,0,0),BQ,0,0),C(0,2,0),D(l,1,0),4(0,0,4),C](0,2,4),因为cos{AB,CD)/B,=母_18_3帧A^B\QD倔10所以异面直线与C,D所成角的余弦值为響.(2)设平面ADC的法向量为/ii=(x,y,
10、z),因为乔=(1,1,0),衣1=(0,2,4),所以n[AD=09niACi=09即x+y=0且y+2z=0r取z=l,得x=2ty=—29所以切=(2,-2,1)是平面ADCx的一个法向量.取平面AA}B的一个法向量为死2=(0,1,0),设平面ADC与平面ABA所成二面角的大小为&I22由lcos^l=两两=亦乔=亍’得sin〃=誓.因此，平面ADC}与平面力必】所成二面角的正弦值为誓.4•如图，在四棱锥P—ABCD中，平面丄底面ABCD,其中底ABCD为等腰梯形，AD//BC,PA=AB=BC=CD=
11、2,PD=2书,PA丄PD,0为PD的中点.(1)证明：C0〃平面丹伙(2)求二面角D—AQ—C的余弦值.⑴证明如图所示，取刃的中点N,连接QN,BN.在△丹D中，PN=NA,PQ=QD,所以QN//AD,且QN=^AD.在中，PA=2,PD=2^,PA丄PD,所以AD=^PA2+PD2=l22+(2y[3)2=4,而BC=2,所以BC=*D.又BC//A
