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1、数学模型模型：是我们对所研究的客观事物有关属性的模拟，它应当具有事物中使我们感兴趣的主要性质，模拟不一定是对实体的一种仿造，也可以是对某些基本属性的抽象。直观模型：实物模型，主要追求外观上的逼真。物理模型：为一定目的根据相似原理构造的模型，不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以进行模拟试验，间接地研究原型的某些规律。思维模型，符号模型，数学模型。数学模型数学模型：1）近藤次郎（日）的定义：数学模型是将现象的特征或本质给以数学表述的数学关系式。它是模型的一种。2）本德（美）的定义：数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的简
2、化的数学结构。3）姜启源（中）的定义：是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定的目的，做出一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具得到一个数学结构。•数学结构：是指数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等，这些基于数学思想与方法的数学问题。总之，数学模型是对实际问题的一种抽象，基于数学理论和方法，用数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等来刻画客观事物的本质属性与其内在联系。古希腊时期：“数理是宇宙的基本原理”文艺复兴时期：应用数学来阐明现象“进行尝试”微积分法的产生，使得数学与世界密切联系起来，用公式、图表、符号反映客观世界越来越广
3、泛，越来越精确。费马（P.Fennal1601-1665）用变分法表示“光沿着所需时间最短的路径前进”牛顿（Newton1642-1727）将力学法则用单纯的数学式表达，如，牛顿第二定律F二ma结合开普勒三定律得出万有引力定律航行问题：甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船速、水速各多少？解：用x、y分别代表船速、水速，可以列出方程解方程组，得X二20（千米/小时）Y二5（千米/小时）答：船速、水速分别为20千米/小时、5千米/小时。数学建模过程表述数学模型数学模型的解答显示对象的信息►4(归纳
4、)■■TJ解释显示对象的解答现实对象与数学模型的关系数学建模示例椅子的稳定性问题将四条腿一样长的正方形椅子放在不平的地面上，是否总能设法使它的四条腿同时着地，即放稳。1假设D地面为光滑曲面2)相对地面的弯曲程度而言，椅子的腿是足够长的3)只要有一点着地就视为已经着地，即将与地面的接触视为几何上的点接触4)椅子的中心不动。2建模分析g(0)表示A,C与地面距离之和f(8)表示B,D与地面距离之和则由三点着地有f(())g(())二0OWeW兀/2不失一般性，设初始时：0=0,g(0)=0,f(0)>03数学模型数学命题：.假设：f(e),g(e
5、)是e的连续函数，g(o)=o,f(o)>o且对任意e,f(e)g(e)=o,求证：至少存在ooe(0,兀/2)使得f(0O)=g(00)=04模型求解证明：将椅子转动n/2,对角线互换，由g(0)二0,f(0)>0,可得"兀/2)二0,g"/2)>0,令〃(0)=f(0)-g(0),5!ijh(O)=f(O)-g(O)>0,而h(n/2)="兀/2)-g(^/2)<0,由/?(0)的连续性，根据介值定理，在(0,ji/2)中至少存在一点，使得/?(00)=0,即f(BO)二g(B0)又f(B0)g(90)=0所以f(00)=g(90)=0结
6、论：能放稳。连续函数的介值定理.若f(x)在闭区间［a,b］上连续,f(a)f(b)<0,则在开区间(a,b)内至少存在一点J使f(g)二0。长方形椅子稳定性问题g(())表示A,B与地面距离之和，f(B)表示C,D与地面距离之和，则由三点着地，有f(e)二oOWoW兀。二0,g(0)二0,f(0)>0,0二兀，g(兀)>0,f(兀)二0/7(e)=f(e)-g(e),则h(0)=f(0)-g(0)>0,而力(兀)二f(兀)-g(兀)<0由力(0)的连续性，根据介值定理，在(0,兀)中至少存在一点，使得/；(80)二0,即f(OO)=g(00
7、)又f(eO)g(00)二0所以f(e0)=g(90)=0结论：能放稳。建立数学模型的方法和步骤方法机理分析法：以经典数学为工具，分析其内部的机理规律。F=ma统计分析法：以随机数学为基础，经过对统计数据进行分析，得到其内在的规律。如建立数学模型的方法和步骤如：多元统计分析法系统分析法：对复杂性问题或主观性问题的研究方法。把定性的思维和结论用定量的手段表示出来。如：层次分析法。建模步骤模型建立模型求解模羽应用1）了解问题的实际背景，明确建模目的，掌握对象的各种信息如统计数据等，弄清实际对象的特征。有时需查资料或到有关单位了解情况等。2）模型假
8、设：根据实际对象的特征和建模目的，对问题进行必要地合理地简化。不同的假设会得到不同的模型。如果假设过于简单可能会导致模型的失败或部分失败，于是应该修改或补充假设，如
