数学之美论文

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数学模型模型：是我们对所研究的客观事物有关属性的模拟，它应当具有事物中使我们感兴趣的主要性质，模拟不一定是对实体的一种仿造，也可以是对某些基本属性的抽象。直观模型：实物模型，主要追求外观上的逼真。物理模型：为一定目的根据相似原理构造的模型，不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以进行模拟试验，间接地研究原型的某些规律。思维模型，符号模型，数学模型。数学模型数学模型：1）近藤次郎（日）的定义：数学模型是将现象的特征或本质给以数学表述的数学关系式。它是模型的一种。2）本德（美）的定义：数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的简化的数学结构。3）姜启源（中）的定义：是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定的目的，做出一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具得到一个数学结构。•数学结构：是指数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等，这些基于数学思想与方法的数学问题。总之，数学模型是对实际问题的一种抽象，基于数学理论和方法，用数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等来刻画客观事物的本质属性与其内在联系。古希腊时期：“数理是宇宙的基本原理”文艺复兴时期：应用数学来阐明现象“进行尝试”微积分法的产生，使得数学与世界密切联系起来，用公式、图表、符号反映客观世界越来越广泛，越来越精确。费马（P.Fennal1601-1665）用变分法表示“光沿着所需时间最短的路径前进”牛顿（Newton1642-1727）将力学法则用单纯的数学式表达，如，牛顿第二定律F二ma结合开普勒三定律得出万有引力定律航行问题：甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船速、水速各多少？解：用x、y分别代表船速、水速，可以列出方程解方程组，得X二20（千米/小时）Y二5（千米/小时）答：船速、水速分别为20千米/小时、5千米/小时。 数学建模过程表述数学模型数学模型的解答显示对象的信息►4(归纳)■■TJ解释显示对象的解答现实对象与数学模型的关系数学建模示例椅子的稳定性问题将四条腿一样长的正方形椅子放在不平的地面上，是否总能设法使它的四条腿同时着地，即放稳。1假设D地面为光滑曲面2)相对地面的弯曲程度而言，椅子的腿是足够长的3)只要有一点着地就视为已经着地，即将与地面的接触视为几何上的点接触4)椅子的中心不动。2建模分析g(0)表示A,C与地面距离之和f(8)表示B,D与地面距离之和则由三点着地有f(())g(())二0OWeW兀/2不失一般性，设初始时：0=0,g(0)=0,f(0)>03数学模型数学命题：.假设：f(e),g(e)是e的连续函数，g(o)=o,f(o)>o且对任意e,f(e)g(e)=o,求证：至少存在ooe(0,兀/2)使得f(0O)=g(00)=04模型求解证明：将椅子转动n/2,对角线互换，由g(0)二0,f(0)>0,可得"兀/2)二0,g"/2)>0,令〃(0)=f(0)-g(0),5!ijh(O)=f(O)-g(O)>0,而h(n/2)="兀/2)-g(^/2)<0,由/?(0)的连续性，根据介值定理，在(0,ji/2)中至少存在一点，使得/?(00)=0,即f(BO)二g(B0)又f(B0)g(90)=0所以f(00)=g(90)=0结论：能放稳。连续函数的介值定理.若f(x)在闭区间［a,b］上连续,f(a)f(b)<0,则在开区间(a,b)内至少存在一点J使f(g)二0。 长方形椅子稳定性问题g(())表示A,B与地面距离之和，f(B)表示C,D与地面距离之和，则由三点着地，有f(e)二oOWoW兀。二0,g(0)二0,f(0)>0,0二兀，g(兀)>0,f(兀)二0/7(e)=f(e)-g(e),则h(0)=f(0)-g(0)>0,而力(兀)二f(兀)-g(兀)<0由力(0)的连续性，根据介值定理，在(0,兀)中至少存在一点，使得/；(80)二0,即f(OO)=g(00)又f(eO)g(00)二0所以f(e0)=g(90)=0结论：能放稳。建立数学模型的方法和步骤方法机理分析法：以经典数学为工具，分析其内部的机理规律。F=ma统计分析法：以随机数学为基础，经过对统计数据进行分析，得到其内在的规律。如建立数学模型的方法和步骤如：多元统计分析法系统分析法：对复杂性问题或主观性问题的研究方法。把定性的思维和结论用定量的手段表示出来。如：层次分析法。建模步骤模型建立模型求解 模羽应用 1）了解问题的实际背景，明确建模目的，掌握对象的各种信息如统计数据等，弄清实际对象的特征。有时需查资料或到有关单位了解情况等。2）模型假设：根据实际对象的特征和建模目的，对问题进行必要地合理地简化。不同的假设会得到不同的模型。如果假设过于简单可能会导致模型的失败或部分失败，于是应该修改或补充假设，如“四足动物的体重问题”；如果假设过于详细，试图把复杂的实际现象的各个因素都考虑进去，可能会陷入困境，无法进行下一步工作。分清问题的主要方面和次要方面，抓主要因素，尽量将问题均匀化、线性化。3）模型建立・分清变量类型，恰当使用数学工具；・抓住问题的本质，简化变量之间的关系；・要有严密的数学推理，模型本身要正确；・要有足够的精确度。4）模型求解：可以包括解方程、画图形、证明定理以及逻辑运算等。会用到传统的和近代的数学方法，计算机技术（编程或软件包）。特别地近似计算方法（泰勒级数，三角级数，二项式展开、代数近似、有效数字等）。5）模型分析：结果分析、数据分析。变量之间的依赖关系或稳定性态；数学预测；最优决策控制。6）模型检验：把模型分析的结果“翻译”回到实际对象中，用实际现象、数据等检验模型的合理性和适应性检验结果有三种情况：符合好，不好，阶段性和部分性符合好。7）模型应用：应用中可能发现新问题，需继续完善。5）模型分析：结果分析、数据分析。变量之间的依赖关系或稳定性态；数学预测；最优决策控制。模型的分类1）按变量的性质分:离散模型确定性模型线性模型单变量模型连续模型随机性模型非线性模型多变量模型2）按时间变化对模型的影响分静态模型参数定变模型动态模型参数时变模型3）按模型的应用领域（或所属学科）分人口模型、交通模型、生态模型、城镇规划模型、水资源模型、再生资源利用模型、污染模型、生物数学模型、医学数学模型、地质数学模型、数量经济学模型、数学社会学模型等。4）按建立模型的数学方法（或所属数学分支）分初等模型、几何模型、线性代数模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型、运筹学模型等3）按模型的应用领域（或所属学科）分人口模型、交通模型、生态模型、城镇规划模型、水资源模型、再生资源利用模型、污染模型、生物数学模型、医学数学模型、地质数学模型、数量经济学模型、数学社会学模型等。5）按建模目的分描述性模型、分析模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型等。6）按对模型结构的了解程度分白箱模型：其内在机理相当清楚的学科问题，包括力学、热学、电学等。灰箱模型：其内在机理尚不十分清楚的现象和问题，包括生态、气象、经济、交通等。黑箱模型：其内在机理（数量关系）很不清楚的现象，如生命科学、社会科 1、某甲早8时从山下旅店出发沿一条路径上山，下午5时到达山顶并留宿；次日早8时沿同一条路径下山，下午5时回到旅店。某乙说，甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点。为什么？甲►>乙◄