一道导数试题的难点剖析与解法探究

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1、一道导数试题的难点剖析与解法探究广东聚庆中学周丽娟【摘要】：本文剖析一道导数试题的难点，探究试题的三种不同解法，从学生角度分析每种解法的难点所在，以及如何突破难点，通过对不同解法的探究拓展学生思维，让学生找到最贴近B己思维层次的理解方式，帮助学牛逐步形成B己的思维体系。【关键词】：导数单调转化难点解法题目：已知函数/(x)=alnx—血—3(aw/?),(1)求函数/(x)的单调区间和极值(2)若函数)，=/(兀)的图像在(2,/(2))处的切线的倾斜角为45°,对任意的te[1,2],函数g(x)=

2、x3+x2/(x)+-在区间(/,3)上总不是单调函数，求加的取值范围。2■■难点剖析：此题是笔者岀在高二文科数学周测试卷上的最示一道试题，改试卷时，笔者发现所任教的实验班48位同学没有一位同学能够完整的解答出这道题來，第一问基本能拿全分,问题主要出在第二问。第二问有3个条件，也涉及3个不同的考点，第一个是通过(2,/(2))处的切线倾斜角为45°求出a的值为-2,这个全班48人都会，第二个点是g&)在区间(Z,3)上总不是单调函数，这里是要求学纶将不单调转化为g'(x)=O在0,3)上有解，考查了学

3、生的化归转化能力，有37人能止确转化，笔者与各层次的学生进行深入交流，学生认为最难的是te[1,2],f是变动的而不是一个固定的值，导致已经转化为关于/的条件又将要满足新的条件，而这个新的条件要么结合着集合的知识要么结合着图像分析，要么结合函数最值判断，学生一下没了头绪，不知道该如何着手，容易想到的把根放在区间内满足题目条件但又不容易解出不等式，导致这里成了最大的难点。下面给出第二问的三种解法，第一问略。解法1：(方程根的思想)g(x)=/+F厂(兀)+巴=x3+(—+2)x2-2xg(x)=3x2+

4、(tn+4)x-2g(x)在区间0,3)±总不是单调函数即g'(x)=o在兀w(/,3)上有解7、—(加+4)-J(m+4)2+24,3兀2+(加+4)兀一2=0=>兀]='<0(舍)-(m+4)+J(n?+4)，+24又•・•Vre[1,2]g(x)=0在xe(r,3)有解即2

5、+4)2+24v加+22(1)若7/7<-22则不等式组无解(2)若一22<加<一16贝ij

6、(1)显然成立，只需J(加+4尸+24v加+22°37n2+8m+16+24(舍)3(3)若加〉-16则二>“J(m+4)2+24>7/7+16=><-937.；37即加〉33综合得点评：上述解法思路相对比较直接，有9位同学做到了2<兀2<3这一步，但后而的不等式求解不过关导致没能求解出正确的结果，更多的同学想不到2<兀2<3这一层，错课理解为1<兀2<3,主要是没理解集合的包含关系，耍兀2丘(人3)，te[1,2]只耍兀2丘

7、(2,3)就一淀能满足x2e(1,3)，但x2e(1,3)不一定能满足x2e(2,3)，这种解法主要用到方程根的思想，学牛比较容易理解，但要求学牛不等式求解过关和对集合包含关系理解透彻。解法2：(数形结合思想)^(^)=x3+x2/(%)+—=%3+(—+2)x2-2xg(x)=3*+(m+4)x一2g(兀)在区间(f,3)上总不是单调函数，fig(())=-2.p(00由题意知:乂・・・Vfw[l,2]gOv0恒成立即r.^<0[g(3)>03点评:考试中有5位同学做到了:驚或者:

8、囂■不■g'(0)=_2舍掉F少。或者后而不懂得转化为没能做卜•去。笔者与学生探讨U(3)<0h(3)>0(3)>°此解法时，学牛们最大的闲惑时：如何想到g'(0)=-2v0的呢？其实想到g'(O)=-2有两个原因：第一个原因是g(x)=3x2+(m+4>-2,与x相乘的是(加+4),只要兀工0任何数与(m+4)相乘都含有参数说，将无法判断符号，只有当x=0吋，g'(0)才能与说无关，才可以判断符号，有了这个能判断符号的点才能确定(匚3)到底在这个点的哪T则，所以想到求g(0)。第二个原因：根据一般的

9、斛题经验观察到%=()时，前两项都为0,只剩下常数项—2。如果没冇g(o)=-2