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《经济管理数学第4章矩阵方法及其应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第4章矩阵方法及其应用4.1矩阵概念4.1.1矩阵的由来引例1某地区设有三个不同的商场S1，S2，S3，它们都出售四种物品F1，F2，F3，F4．这四种物品在不同商场有不同的价格，如表4.1所示．譬如：物品F2在商场S3的价格是8元，在商场S1购买每种物品各一件的总费用是17元＋7元＋11元＋21元＝56元．类似地，在商场S2购买每种物品各一件的总费用是56元，在S3则是60元．表6.１中的长方形数组称为三行四列的矩阵，记为引例2在物资管理工作中，常常要编制调拨计划，如表4.2所示.这里的长方形数组称为m行n列矩阵，记为4.1.2矩阵的定义
2、定义4.1由m×n个数(或元素)按确定位置排成m行n列的矩形表，形如叫做一个m×n阶矩阵，其中横排叫矩阵的行，竖排叫矩阵的列，aij叫矩阵第i行第j列上的元素，m×n叫矩阵的阶．通常，用大写英文字母A，B，C,…表示矩阵，有时为了表明一个矩阵的行数和列数，又用Am×n或A=(aij)m×n表示一个m行n列的矩阵．4.1.3几种特殊矩阵(1)行矩阵1行n列的矩阵即１×n阶矩阵，称为行矩阵，如(a1a2…an)(2)列矩阵m行1列的矩阵即m×1阶矩阵,称为列矩阵,如(3)零矩阵所有元素均为0的矩阵,称为零矩阵,记为0或0m×n即(4)方阵行数
3、与列数相等的矩阵，即m×n阶矩阵若m＝n时，则称为n阶方阵或称n×n阶矩阵，即(5)对称矩阵在n阶方阵A＝［aij］中，若它的第i行第j列上的元素aij与第j行第i列上的元素aij相等，即aij=aij(i，j＝１，２，…，n)，则称A为对称矩阵，简称对称阵，如都是对称阵．(6)三角矩阵主对角线下方的元素全为零的n阶方阵，称为n阶上三角矩阵，即主对角线上方的元素全为零的n阶方阵，称为n阶下三角矩阵，即上三角矩阵和下三角矩阵统称为三角矩阵.(7)对角矩阵如果方阵除主对角线上的元素以外，其余元素全为零，即这种矩阵叫对角矩阵，简称对角阵．显然，
4、对角矩阵既是上三角矩阵又是下三角矩阵．(8)单位矩阵主对角线上元素全为１的n阶对角阵，叫n阶单位矩阵，简称单位阵．记为E或En，即4.2矩阵的运算4.2.1矩阵相等设A，B是两个同阶(即有相同的行数和列数)矩阵，若A中的每个元素与B中的每个元素对应相等，则称矩阵A与B相等，记为A＝B，也就是在中，若aij＝bij(i＝1,2,…,m；j＝1,2,…，n)，则有A＝B．4.2.2矩阵加法设称A，B所有对应元素的和(或差)构成的m×n阶矩阵为A，B的和(或差)，记为C＝A＋B(或C＝A-B)．例设求A＋B，A-B．解4.2.3数乘矩阵设k是
5、一个常数,A=,称矩阵为数k与矩阵A的乘积，记为kA，(-1)A记为-A．4.2.4矩阵乘法设A是m行s列矩阵，B是s行n列矩阵则由元素所构成的m行n列矩阵叫矩阵A与B的乘积，记为C＝AB．例设A=求AB与BA．解由已知有4.2.5矩阵的转置（或转置矩阵）设矩阵规定AT=称其为A的转置矩阵．矩阵的转置满足如下运算规则：1）(AT)T＝A;２）(A＋B)T＝AT＋BT;３）(kA)T＝kAT;４）(AB)T＝BTAT例设矩阵A=求解矩阵方程(AB)T＋3X＝2BTAT＋3E2.解因而(AB)T＋3X＝2BTAT＋3E2可化
6、为所以4.2.6逆矩阵定义4.2设A是ｎ阶方阵，E是ｎ阶单位阵，如存在ｎ阶方阵B，使得AB＝BA＝E则称B是A的逆矩阵，简称逆阵，记为A-1，即B＝A-1．4.3行列式4.3.1行列式概念(1)行列式的概念一般地，设二阶方阵则A的行列式记作
7、A
8、，它的值定义为(2)行列式按一行(列)展开——拉普拉斯展开式现讨论三阶或三阶以上的行列式的值，即要为高于二阶的行列式赋值，采用拉普拉斯(Laplace)展开法．对于给定的三阶矩阵其行列式的值定义为一般地，对n阶行列式
9、A
10、按第i(１≤i≤n)行的拉普拉斯展开式为而按第j(１≤j≤n)列的拉
11、普拉斯展开式为(4.2)(4.3)4.3.2行列式的性质性质1矩阵A的行列式
12、A
13、和它的转置矩阵的行列式
14、AT
15、相等，即亦即性质2对调行列式的两行(或两列)行列式的值仅改变符号．性质3若行列式某两行(或两列)的对应元素相同，则此行列式的值为零．性质4行列式某行(或某列)所有元素的公因子可以提到行列式外面．推论1若行列式两行(或两列)的对应元素成比例，则此行列式的值为零．推论2若行列式有一行(或一列)的所有元素全为零，则此行列式的值为零．性质5行列式某一行(或某一列)各元素同乘以k(k≠０)加到另一行(或另一列)各对应元素上，所得的行列式值不
16、变．性质6行列式中某一行(或某一列)的各元素与另一行(或另一列)对应元素的代数余子式的乘积之和必为零．4.3.3行列式的计算例计算四阶行列式解拉氏展开法其中同理得所
