静电场中高斯定理的证明

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1、第３４卷第２期长春工业大学学报（自然科学版）Ｖｏｌ．３４Ｎｏ．２２０１３年０４月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｈａｎｇｃｈｕｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）Ａｐｒ．２０１３静电场中高斯定理的证明付静，姜广军（吉林建筑工程学院城建学院基础部，吉林长春１３０１１１）摘要：高斯定理是电磁场中的重要定理，了解高斯定理的证明对理解定理本身是非常重要的，文中借助电场强度通量的概念对静电场中高斯定理进行了推导。关键词：静电场；高斯定理；证明方法中图分类号：Ｏ４４１文献标志码：Ａ文章编号：１

2、６７４－１３７４（２０１３）０２－０１２７－０３ＥｌｅｃｔｒｏｓｔａｔｉｃｆｉｅｌｄｏｆＧａｕｓｓｔｈｅｏｒｅｍｐｒｏｖｅｄＦＵＪｉｎｇ，ＪＩＡＮＧＧｕａｎｇ－ｊｕｎ（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＢａｓｉｃ，ＴｈｅＣｉｔｙＣｏｌｌｅｇｅｏｆＪｉｌｉｎＡｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒａｌａｎｄＣｉｖｉｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＩｎｓｔｉｔｕｔｅ，Ｃｈａｎｇｃｈｕｎ１３０１１１，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｇａｕｓｓｔｈｅｏｒｅｍｉｓａｎｉｍｐｏｒｔａｎｔｔｈｅｏｒｅｍｉｎｔｈｅｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃｆｉｅｌｄ，Ｗｉｔｈｔｈｅｈｅｌｐ

3、ｏｆｔｈｅｃｏｎｃｅｐｔｏｆｔｈｅｅｌｅｃｔｒｉｃｆｉｅｌｄｓｔｒｅｎｇｔｈｆｌｕｘｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇｔｈｅｏｒｅｍｉｓｖｅｒｙｉｍｐｏｒｔａｎｔｔｏｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｔｈｅｐｒｏｏｆｏｆｔｈｅＧａｕｓｓｔｈｅｏｒｅｍｔｏｔｈｅｄｅｒｉｖａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｅｌｅｃｔｒｏｓｔａｔｉｃｆｉｅｌｄｏｆＧａｕｓｓｔｈｅｏｒｅｍ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｅｌｅｃｔｒｏｓｔａｔｉｃｆｉｅｌｄ；Ｇａｕｓｓｔｈｅｏｒｅｍ；ｍｅｔｈｏｄｏｆｐｒｏｏｆ．晰。０引言１电场强度通量的概念［１］高斯定理的证明一般有３种方法：１）利用电场线模型，

4、先从点电荷位于球面内借助于电场线的图像，引入电场强度通量的［２－４］球心处的特例来证明高斯定理，然后再推广到任概念。通过任意一曲面的电场强度通量如图意的闭合曲面。这种方法相对比较简单，但是从１所示。特例推广一般情况不够严谨；ΨＥ＝∮Ｅ·ｄＳ＝ＥｃｏｓθｄＳ（１）Ｓ∮Ｌ２）利用立体角的概念证明高斯定理，此方法必须指出，对非闭合曲面，面法线的正方向可以取虽严谨，但要求学生具有丰富的空间想象力，难度曲面的任一侧，对闭合曲面来说，通常规定自内向较大；外的方向为面积元法线的正方向，所以，在电场线３）应用电场强度概念和纯数学推导证明高斯

5、从曲面之内向外穿出处，Ｅ通量为正；反之，在电定理，这种方法非常繁杂和抽象，且物理含义不清场线从外部穿入曲面处，Ｅ通量则为负。收稿日期：２０１３－０１－１５基金项目：国家“十二五”规划社会科学基金资助项目（ＢＣＡ１１００２０）作者简介：付静（１９７９－），女，汉族，吉林四平人，吉林建筑工程学院城建学院讲师，硕士，主要从事大学物理方向研究，Ｅ－ｍａｉｌ：ｆｕｊｉｎｇｃｏｍ２００５＠ｔｏｍ．ｃｏｍ．１２８长春工业大学学报（自然科学版）第３４卷图１２高斯定理的证明图３２．１正点电荷在球面中心在正点电荷ｑ激发的电场中，通过以点电荷２．

6、３多个正点电荷在闭合曲面内为中心、半径为ｒ的球面上的Ｅ通量如图２所示。如图４所示，ｎ个电荷在闭合曲面内，根据电场强度叠加原理，空间任一点的电场强度是这ｎ个电荷电场的矢量和Ｅ＝Ｅ１＋Ｅ２＋…＋Ｅｎ此时，通过该闭合曲面的Ｅ通量是ΨＥ＝∮Ｅ·ｄＳ＝Ｓ∮Ｅ１·ｄＳ＋Ｅ２·ｄＳ＋…＋Ｅｎ·ｄＳＳ∮Ｓ∮Ｓ该式右边第一项是电荷ｑ１所激发的电场通ｑ１过闭合曲面Ｓ的Ｅ通量，按式（２），它等于；其图２ε０余各项有相同的意义，因此利用库仑定律，在球面上任一点的电场强度ｎ为ｑ１ｑ２ｑｎｑｉΨＥ＝∮Ｅ·ｄＳ＝＋＋…＋＝∑Ｓε０ε０ε０ｉ＝１ε０ｑＥ＝

7、２ｅｎ４πε０ｒ利用式（１）可求得通过该闭合球面上的Ｅ通量为：ΨＥ＝∮Ｅ·ｄＳ＝ＥｃｏｓθｄＳ＝Ｓ∮ＳｑｄＳ＝ｑｄＳ＝ｑ（２）２２∮Ｓ４πε０ｒ４πε０ｒ∮Ｓε０２．２正点电荷不在球面中心（或任意闭合曲面内）从电场线的观点看，由于从点电荷ｑ发出的图４所有电场线连续地延伸到无限远处，即使球面的２．４正点电荷在球面外形状发生了畸变或者点电荷不在球的中心，通过如图５所示，如果闭合曲面内没有包围电荷，ｑ该闭合曲面的Ｅ通量都没有变化，仍为，如图３电荷在闭合曲面外面，那么进入闭合曲面的电场ε０线等于穿出闭合曲面的电场线，所以总的Ｅ通量所

8、示。为０，即第２期付静，等：静电场中高斯定理的证明１２９荷激发的，面外电荷对通量无贡献，但对高斯面ＳＥ·ｄＳ＝０∮Ｓ上的各点的电场强度是有贡献的［８］。综合以上讨论，不难得出结论，在静电场中，３）高斯面内以及面外的电荷位置的改变对高通过任一闭合曲面的Ｅ通量，等于该曲面内电荷斯面上的通量没影