分形几何学与黄金分割

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1、分形几何学黄金分割自然界的绝大多数分形我们生活在一个具有长度、宽度和深度的三维世界里一个点是零维.一条直线是一维的，一个平面是二维的，现实世界分形人眼可见范围是三维叶中管脉络面分布叶脉与输送系统设计是城市管网或农田灌溉系统的一个很自然的样本F4.树根树枝分形层次-支D4.花菜E4.蕨类Koch雪花图像曲线Koch雪花图形VonKoch(1870-1924)随机Koch曲线——对海岸线的模拟曼德尔布罗20世纪70年代提出“分形几何”概念，所撰写《大自然的分形几何》一书1982年出版。曼德尔布罗所作

2、开创性研究有助于人们测量一些先前难以测量的物体，例如云团或海岸线。他的研究成果应用于物理、生物、金融等各项领域，而不规则图形设计理念甚至影响流行文化。2010年10月14日，伯努瓦·曼德尔布罗在美国马萨诸塞州剑桥辞世，享年85岁。伯努瓦·曼德尔布罗(BenoitB.Mandelbrot）“分形几何之父”，出生于波兰，童年时随家人移居法国，后来在美国担任耶鲁大学名誉教授。1967年Mandelbrot提出“英国的海岸线有多长？”的问题。长度与测量单位有关，以1km为单位测量海岸线，就会将短于1km

3、的迂回曲折长度忽略掉；若以1m为单位测量，则能测出被忽略掉的迂回曲折，长度将变大；若测量单位进一步地变小，测得的长度就会愈来愈大，这些愈来愈大的长度将趋近于一个确定值，这就是海岸线的长度。Mandelbrot发现：当测量单位变小时，所得的长度是无限增大的。他认为海岸线的长度是不确定的，或者说，在一定意义上海岸线是无限长的。这就是因为海岸线是极不规则和极不光滑的。我们知道，经典几何研究规则图形，平面解析几何研究一次和二次曲线，微分几何研究光滑的曲线和曲面，分形几何却有助于自然界大量存在的不规则形体

4、处理。图示Mandelbrot突破了这一点，长度也许已不能正确概括海岸线这类不规则图形的特征。海岸线虽然很复杂，却有一个重要的性质——自相似性。从不同比例尺的地形图上，可以看出海岸线的形状大体相同，其曲折、复杂程度是相似的。海岸线的任一小部分都包含有与整体相同的相似细节。电解吸附分布电化学的吸附过程，其生长方式与一种电磁导向及随机概率有关，所以呈现如图示的成长方式Sierpinski三角和方毯波蘭著名數學家WaclawSierpinski1916年提出SierpinskiGasket圖形產生Si

5、erpinskiGasket方法如下：零步驟：畫出實心的正三角形第一步驟：將三角形每一邊的中點連線，會分割成四個小正三角形，把中央的正三角形拿掉，會剩下其餘的三個正三角形，第二步驟：將每一個實心的小角形都重複第一步驟，重複第二步驟接下來的步驟，即重複地疊代下去…Mondelbrot集Mandelbrot集Mandelbrot集是Julia集的延伸和扩展.Mandelbrot集有非常复杂的结构,其特征是由一个主要的心脏形结构和一系列圆盘形的“芽苞”突起连接在一起,每个“芽苞”又被更细小的“芽苞”所

6、环绕,依此类推.此外,还有更为精细的“发状”似的分枝从“芽苞”向外长出.这些细发在它的每一段上都带有与整个M集相似的微型样本.M集的每个“芽苞”上的每一点,都分别对应著一个参数C的值.如果取一点并显微该点尽可能小的邻域,放大后便得到一个分形图.Newton/Nova分形Newton奠定了经典力学、光学和微积分学的基础。但是除了创造这些自然科学的基础学科外，他还建立了一些数学方法。例如，牛顿建议用一个逼近方法求解一个方程的根。如方程Z^6+1=0有六个根，用牛顿的方法"猜测"复平面上各点最后趋向方

7、程的那一个根，就可以得到一个怪异的分形图形。和Julia分形一样，能永远放大下去，并有自相似性。Newton/Nova分形花草树木(L系统）的一个例子PythagoreanTrees分形自然界中的分形山星云星云天空中的云朵植物的叶子视网膜中央动脉颞上支阻塞视乳头旁毛细血管瘤毛细血管分布河流分布图如何利用分形规律1.了解分形2.了解我们的问题及根源3.调动广泛的联系和影响分形的应用数学中的动力系统等;物理中的布朗运动,流体力学中的湍流等;化学中酶的构造等;生物中细胞的生长等;地质学中的地质构造等;

8、天文学中土星光环的模拟等;其它:计算机,经济学,社会学,艺术等分形的功能1.事物的外形，存在着整体和局部相似的特点。局部放大后与整体形状类似2.事物的发展，也可以从局部的发展，看出事物整体发展的状况3.事物的功能，事物局部的功能，也存在着与整体功能相似的情况黄金分割及运用人体有14个“黄金点”（物体短段与长段之比值为0.618），12个“黄金矩形”（宽与长比值为0.618的长方形）和２个“黄金指数”（两物体间的比例关系为0.618）。黄金点：(1)肚脐：头顶－足底之分割点；(2)咽喉：头顶－肚脐