分形几何学的新特例与物理新思维

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1、分形几何学的新例与物理学新思维毛志彤江都市2011-2-131目录1.维度2.线域分形3.面域分形4.体域分形旧例5.体域分形新例6.体域耦合复分形7.电磁态8.基本粒子结构9.分形微分几何与超弦发展21.维度A1.维度的数学含义B1.维度的几何学含义C1.笛卡尔坐标的维度D1.黎曼几何坐标维度E1.罗巴切夫斯对几何解析F1.维度的定义域G1.周向维度域H1.维度值的计算方式I1.维度与分形逻辑3A1.维度的数学含义我们普遍将对一种序的归类方式称为维度例如：思维-分析问题的途径和方法所以这就涉及到归类和计量（单位和量）数学上将这种考虑归类和计量的方式实际作为维度，这里有明显

2、标注的和不明显表示的例如：自然数序，小数位数，几何形状与角度，几何形状与边数，几何形状与其中的封闭环路的拓扑路径。4B1.维度的几何学含义空间序的逻辑概念。空间的位置和结构的关系的逻辑；空间量的逻辑概念，空间的迭代方式和迭代层次；空间的域的定义特征，是有限域还是无限域的逻辑；空间域的拓扑性，空间连续性或分裂性的逻辑；空间的对易关系的逻辑性，例如：对于地球表面一点他的重力势能在一个维度上有序对另外两个维度不对易，同时在同一高度上，或该点的水平面两个维度完全对易。5C1.笛卡尔坐标的维度直线（射线）与直线构成平面；以直线与平面为基础的坐标空间；一般空间是限定在三维以内；如果不加以

3、额外定义其维度是对易；在空间的域定义为无限的空间；空间向量是有原点的；空间无限包括向量正和向量负无限；空间在域内连续的；空间域是平移对易和旋转对易的；空间可定义域值；空间域值可积分可微分；空间连续可导；6D1.黎曼几何坐标维度在逻辑曲面上有以坐标原点；在点极限附近的n维极限空间；N维极限空间的对易性或不对易；空间域内可导性；N维空间维度的正交性；n维同一层次空间（不被定义为分形维度）；在极限域的对第n维空间的n-1维空间的可导性同理对第n-k维度，n-k-1维空间可导；同理也是微分几何的空间基础；由曲面的曲率决定其可以退化为欧氏几何。黎曼（1826～1866）7黎曼几何简介黎

4、曼流形上的几何学。德国数学家G.F.B.黎曼19世纪中期提出的几何学理论。1854年黎曼在格丁根大学发表的题为《论作为几何学基础的假设》的就职演说，通常被认为是黎曼几何学的源头。在这篇演说中，黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。他首先发展了空间的概念，提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量，空间中的点可用n个实数（x1，……，xn）作为坐标来描述。这是现代n维微分流形的原始形式，为用抽象空间描述自然现象奠定了基础。这种空间上的几何学应基于无限邻近两点（x1，x2，……xn）与（x1＋dx1，……xn＋dxn）之间的距离，用微

5、分弧长度平方所确定的正定二次型理解度量。亦即（gij）是由函数构成的正定对称矩阵。这便是黎曼度量。赋予黎曼度量的微分流形，就是黎曼流形。8几何结构黎曼认识到度量只是加到流形上的一种结构，并且在同一流形上可以有许多不同的度量。黎曼以前的数学家仅知道三维欧几里得空间E3中的曲面S上存在诱导度量ds2＝Edu2＋2Fdudv＋Gdv2，即第一基本形式，而并未认识到S还可以有独立于三维欧几里得几何赋予的度量结构。黎曼意识到区分诱导度量和独立的黎曼度量的重要性，从而摆脱了经典微分几何曲面论中局限于诱导度量的束缚，创立了黎曼几何学，为近代数学和物理学的发展作出了杰出贡献。黎曼几何以欧几里

6、得几何和种种非欧几何作为其特例。例如：定义度量（a是常数），则当a＝0时是普通的欧几里得几何，当a＞0时，就是椭圆几何，而当a＜0时为双曲几何。9李群与黎曼几何黎曼几何中的一个基本问题是微分形式的等价性问题。该问题大约在1869年前后由E.B.克里斯托费尔和R.李普希茨等人解决。前者的解包含了以他的姓命名的两类克里斯托费尔记号和协变微分概念。在此基础上G.里奇发展了张量分析方法，这在广义相对论中起了基本数学工具的作用。他们进一步发展了黎曼几何学。但在黎曼所处的时代，李群以及拓扑学还没有发展起来，因此黎曼几何只限于小范围的理论。大约在1925年H.霍普夫才开始对黎曼空间的微分结

7、构与拓扑结构的关系进行了研究。随着微分流形精确概念的确立，特别是E.嘉当在20世纪20年代开创并发展了外微分形式与活动标架法，建立了李群与黎曼几何之间的联系，从而为黎曼几何的发展奠定重要基础，并开辟了广阔的园地，影响极其深远。并由此发展了线性联络及纤维丛的研究。10爱因斯坦与黎曼几何1915年，A.爱因斯坦运用黎曼几何和张量分析工具创立了新的引力理论—广义相对论。使黎曼几何（严格地说洛伦兹几何）及其运算方法（里奇算法）成为广义相对论研究的有效数学工具。而相对论近年的发展则受到整体微分几何的强烈影响。例如