分形——自然界几何学

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1、分形——自然界的几何学B.B.Mandelbrot   分形几何扮演了两种角色。它技术决定论混沌的几何学，又是描述山峦、云团和星系的几何学。   自然科学与几何学总是携手并进的。17世纪，开普勒发现能用椭圆描述行星绕太阳运行的轨道。这激励了牛顿用万有引力定律解释这些椭圆轨道。同样，理想的摆做往复运动可以用正弦波形表示。简单的动力学常常和简单的几何外形相联系。这一种数学图像暗示，物体的形状和作用于它的力之间有一种平滑的关系。在行星和摆的例子中还暗示物理学是决定论的，由系统的过去便能预测其未来。   两种新近的科学进展深深影响了

2、几何外形相联系。首先是由于认识到自然界充满了某种称为决定论混沌的事物。宇宙中许多表面看来服从决定论定律的简单物理系统，其行为仍然是不可预测的。例如，受两个力作用的摆。用决定论的观念已无法预测其运动，这使大多数人吃惊。   第二种进展来自对我们周围见到的最不规则而复杂的现象：山峦和云团的外形，星系在宇宙中的分布，离家近点，金融市场价格的起伏等，做数学描述所取得的成果。获取这种数学描述的一条途径在于找到“模型”。换言之，需构想或发现一些数学规则，使之能对实现的某些部分做“数学上的伪造”——做成山峦或云团的照片、最深层空间的天体图

3、、报纸金融版的图表等。   实际上，伽利略曾宣称，“自然界伟大的书是用数学语言写成的”，而且补充说，“其特征为三角形、圆形和其他几何图形，没有这些几何图形人们只能在黑暗的迷宫中做毫无结果的游荡”。然而不论模拟决定论混沌还是模拟不规则系统，这些欧几里得外形已经没什么用。这些现象需要的几何远远不是三角形和圆。它们需要非欧几里得结构——特别是需要称之为分形几何的新几何学。   1975年，我由描述碎石的拉丁文fractus，创造出分形（fractal）一词。分形是几何外形，它与欧几里得外形相反，是没有规则的。首先，它们处处无规则可

4、言。其次，它们在各种尺度上都有同样程度的不规则性。不论从远处观察，还是从近处观察，分形客体看起来一个模样——它是自相似的。整体中的小块，从远处看是不成形的小点，近处看则发现它变得轮廓分明，其外形大致和以前观察的整体形状相似。   自然界提供了许多分形实例。例如，羊齿植物、菜花和硬花甘兰，以及许多其他植物，它们的每一分支和嫩枝都与其整体非常相似。其生成规则保证了小尺度上的特征成长后就变成大尺度上的特征。   用明显的数学模型加工出的分形工艺品为Sierpinski垫圈。取一黑三角形并把它分割成四个较小的三角形，拿掉中心部分的第

5、四个三角形，便留下一个白三角形。每一个新三角形也重复上述做法，便能获得尺度不断缩小具有同样形式的结构，边长总是教上一步边长缩小一倍。当客体的部分和整体完全相似，就可以说客体是线性自相似的。   然而，最重要的一些分形和线性自相似还是有区别的。其中有些是描述普通随机性的分形，另一些是能描述混沌，或非线性系统的分形（在这种系统中对系统行为起作用的因素，其作用程度与其产生的效果不成比例）。让我们为上两种情况举出实例。   我们的分形由于能伪造海岸线、山峦和云团而知名。另一个例子是为《星际旅行II》那样的影片制作的一些场景。   我

6、们的分形模拟著作从少量的人类智慧和大量的博物学知识开始。人类智慧从观察某些事物入手，像立体派画家那样做观察。“云团不是球形，山峦不是锥形，海岸线不是圆的，树皮不是光的，闪电不会沿直线行进”。所有这些自然结构都具有不规则形状，它们是自相似的。换言之，我们发现，把整体中的一部分放大便能进一步揭示其深层结构，而它几乎就是我们一开始处理的那种原始结构的复制品。   博物学知识涉及对自然结构事实的收集与分类。例如，当你测量一个国家的海岸线，测得越精细，海岸线长度便会越长，因为你不得不计入沿海岸线长度越来越小的不规则性。刘易斯.赖伊.理

7、查森已经找到描述这种长度增加的经验定律。  为使分形几何有意义，我们不得不寻找一种方法，从数量的观点来表达形状的复杂性，就象欧几里得几何引用角度、长度、面积、曲率，以及用一维、二维、三维这些概念一样。   对于复杂的几何形体，普通维数的概念可能随尺度不同而改变。例如，直径10厘米的球用1毫米粗的细线做成。从远处看，球是一点。离10厘米远，线球是三维的。在10毫米处，它是一维线团。在1毫米处，每根线变成了圆柱体，整体又一次变成一维，如此等等，维数“交叉”反复从一个值到另一个值。当球用有限数目像原子那么小的微物代表时，它变成零维

8、。   对于分形，和普通维数（0，1，2，3）相对应的维数称为分形维数。通常，它们的维数值不是整数。   最简单的分形(Shape)维变量是相似维Ds只不过给出描述客体所需要的普通维数——分别为0、1、2、3。对一条曲线线性自相似分形又该怎么看呢？这样一条曲线能从很光滑的一维线，到接近充填