二次函数解析式图象和性质专题

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1、二次函数知识点一、二次函数概念:1.二次函数的概念：一般地，形如y=ax2^bx+c（a,b,c是常数，心0）的函数，叫做•次歯数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数。工°,而可以为零•二次函数的定义域是全体实昴2.二次函数y=ax2^bx^-c的结构特征：（1）等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2・（2）a,b,c是常数，。是二次项系数，b是一次项系数，e是常数项.二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上

2、(0,0)轴x>0时，y随x的增人而增大；xvOII寸，y随兀的增人而减小；兀=0时，y有最小值0.a<0向下(0,0)轴x>0时，y随x的增人而减小；x<011寸，y随兀的增人而增人；兀=0时，y有最大值0.2.y=ax2^c的性质:上加下减。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>Q向上(0,c)轴x>0时，y随x的增人而增大；xvOII寸，y随兀的增人而减小；兀=0时，y有最小值c.a<0向下(0,c)轴x>0时，y随x的增人而减小；x<011寸，y随兀的增人而增人；兀=0时，y有最大值c.3.y=a（x-h）2的性质:左加

3、右减。d的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上（力，0）X二h兀>力时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小；x=h吋，y有最小值0.a<0向下©,0)X二h兀>力11寸，y随x的增人而减小；x0向上(力‘約X二hx>/?n寸，y随兀的增大而增大；xhlit,y随x的增大而减小；xv/HI寸，y随兀的增人而增人；兀

4、"时，y有最人值I三、二次函数图象的平移1.平移步骤：方法一：(1)将抛物线解析式转化成顶点式y=a{x-h^k，确定具顶点坐标；⑵保持抛物线y=的形状不变，将其顶点平移到(力,)处，具体平移方法如下:y=ax^Wy=6r(x-/z)2向右(/?>0)【或左(/?<0)]平移阳个单位向上伙>0)【或下伙v0)】平移hll个单位向右(心0)【或左(/:<0)]平移比I个单位向上伙>0)【或下(RvO)】平移IRI个单位~书口心以+点向上伙>0)【或向下伙v0)】平移1£1个单位—Ay=ax2+k向右(心0)【或左(衣0)】平移阳个

5、单位2.平移规律在原有函数的基础上“力值疋右移，负左移；k值正上移，负下移概括成八个字“左加右减，上加下减”.方法二：(1)y=ax2+bx--c沿y轴平移:向上(下)平移加个单位，y=ax2--bx+c&y=ax2+bx+c+加(或y=ax2+bx+c-m)(2)y=ox，+b尢+c沿轴平移：向左(右)平移加个单位，yndF+Zu+c变成y=a(x+m)2+h(x+m)+c(或y二a(x-m)2+b(x-n?)+c)四、二次函数y=a(x-h)2+k与歹=0?+以+。的比较从解析式上看，y=a(x-h)2^k与)=/+加

6、+c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即尸/“纠2+经二兰，其中心-厶"色』.2d丿4a2a4a五、二次函数y=qx2+/x+c图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y=ax2+bx+c化为顶点式y=a(x-h)2+k，确定•其开口方向、对称轴及顶点处标，然后在対称轴两侧，左右対称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点(O,c)、以及(O,c)关于对称轴对称的点(2力，可、与x轴的交点(x,,0),(x2,0)(若与X轴没冇交点，则取两组关于对称轴对称的点).画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称

7、轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.六、二次函数y=ax2+bx+c的性质1当小时'抛物线开口向上'对称轴为r顶点坐标为苍4皿一戻、4a丿当x<-—W，y随X的增大而减小；当x>-—W,y随兀的增大而增大；当兀=-22a2a2a时，y有最小值色二"・4d2.当avO时，抛物线开口向下，对称轴为%=,顶点处标为,4ac~b^].当2d(2a4a丿x<-—11^,y随兀的增人而增人；当x>-—11^,y随X的增人而减小；当x=-—wifv2d2a2a有最大值兰4・4a七、二次函数解析式的表示方法1.一般式：y=o¥2+/zx+c(

8、a,h,c为常数，心0)；2.顶点式：y=a(x-h)2(a,h,k为常数，gHO)；3.两根式：y=«(x-x1)(x-x2)(dHO,Xj,*2是抛物线与x轴两交点的横坐标).注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或谥点式，但并非所有的二次函数都可以写成